Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).
Pell Folge/Zahlen
Die Folge ist rekursiv definiert durch:
![{\displaystyle P(n)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}n=0;\\1,&{\text{wenn }}n=1;\\2P(n-1)+P(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9926614432a8d6718f10541c65d5ebc8a6e603ea)
Das bedeutet in Worten:
- für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
- jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.
Die ersten
Zahlen der Folge lauten (wenn man mit
zu zählen beginnt):
- 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, … (Folge A000129 in OEIS)
Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge
mit
und
interpretieren:
![{\displaystyle f_{n}=U_{n}(2,-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44add9eb2622128f38cc55cc260836a8c5ceace2)
Silberner Schnitt
Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:
![{\displaystyle \delta _{S}:=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376f77a2398c51de8ae45e3cdeb341db804c26a3)
Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge.
Herleitung des Zahlenwertes
Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen:
Mit
folgt:
Mit
folgt weiter:
. Damit ergibt sich die quadratische Gleichung
mit den beiden Lösungen
und
.
Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146faf3e3f3e4f499789092b4d71ba699ab81cb0)
Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:
und
.
Seien
und
reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen
und
![{\displaystyle P_{2}(0):=c_{2}\quad P_{2}(n):=c_{2}(1-{\sqrt {2}})^{n}\quad n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940ccce597a446bca4612086944c0bd481bffe8f)
die Rekursionsformeln
und
.
Deren Linearkombination
erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.
Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten:
und
.
Eingesetzt in
ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
und
![{\displaystyle P_{l}(1)=c_{1}(1+{\sqrt {2}})+c_{2}(1-{\sqrt {2}})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcb629b3f59e4c22ebb5598ad3dbeca026670cf)
mit den Lösungen
und
Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell-Folge:
![{\displaystyle P(n)={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb2c8c1c98a4dcd13796e3dbff2aee6ee32cdf6)
Erzeugende Funktion der Pell-Folge
Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)\cdot x^{n}={\frac {x}{1-2x-x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa302bc65cfc1147e212f3d38dd871d6e65f35e0)
Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius
.
Herleitung der Funktion
Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius
.
Für
gilt daher mit
:
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x&&+P(2)\cdot x^{2}&&+P(3)\cdot x^{3}&&+P(4)\cdot x^{4}+\dotsb \\{-2x}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&-2\cdot P(0)\cdot x&&-2\cdot P(1)\cdot x^{2}&&-2\cdot P(2)\cdot x^{3}&&-2\cdot P(3)\cdot x^{4}-\dotsb \\{-x^{2}}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&&&-P(0)\cdot x^{2}&&-P(1)\cdot x^{3}&&-P(2)\cdot x^{4}-\dotsb \\\hline (1-2x-x^{2})\cdot {\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x-2\cdot P(0)\cdot x\\&=x\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e09bd89de70339a7e138ba9301743760636a5)
Reihenentwicklungen
Die unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell-Zahlen ist algebraisch.
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)+1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3407b779aa813f5f49c406fffafdbcf5720a331)
Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell-Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]}}K\{\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06feaaf5813cac11eda47f6e9b393d1f2ac0f13)
Hierbei ist λ*(x) die elliptische Lambdafunktion und K(x) ist das vollständige elliptische Integral erster Art.
Analog zur Millin-Reihe über die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe über die Pell-Zahlen formuliert werden:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{z}{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }{\frac {P(2^{z}-1)+P(2^{z}-2)}{P(2^{z})}}=2-{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cbfc7206d8a1560fbbd3e352441e3771e65d1e)
Pell-Primzahlen
Eine Pell-Primzahl ist eine Pell-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Pell-Primzahlen lauten:
- 2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 4125636888562548868221559797461449, 4760981394323203445293052612223893281, … (Folge A086383 in OEIS)
Für diese Pell-Primzahlen ist der Index
von
der folgende:
- 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197, … (Folge A096650 in OEIS)
- Beispiel 1:
- Es ist
und
. Somit ist
eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index
in obiger Liste an der 4. Stelle auf, weil er zur viertkleinsten Pell-Primzahl
führt.
Es gelten folgende Eigenschaften für Pell-Primzahlen:
- Wenn
eine Pell-Primzahl ist, dann ist der Index
ebenfalls eine Primzahl (die Umkehrung stimmt nicht, das heißt, dass nicht jeder Primzahl-Index zu einer Pell-Primzahl führt).[1]
Pell Zahlen 2. Art / Companion Pell-Folge
Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.
Die Folge ist rekursiv definiert durch:
![{\displaystyle Q(n)={\begin{cases}2,&{\text{wenn }}n=0;\\2,&{\text{wenn }}n=1;\\2Q(n-1)+Q(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0cde3b9e6dca65a6a2120b6a4de7aa8573b010)
Das bedeutet in Worten:
- für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
- jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.
Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, … (Folge A002203 in OEIS)
Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge
mit
und
interpretieren:
![{\displaystyle Q(n)=V_{n}(2,-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30fbd09d21c98bbe5a30d07ec2355837f3f73df)
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Comments zu OEIS A096650