Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.
Es ist nach Jerzy Neyman benannt.
Aussage
Für σ-Algebren
Gegeben sei ein statistisches Modell
mit dominierter Verteilungsklasse
, die von
dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra
von
.
Dann ist
suffizient genau dann, wenn eine
-messbare Funktion
existiert und für jedes
eine
-messbare Funktion
existiert, so dass
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a8fb95d5ea10077ac65314d9925d5b2d0b655c)
gilt bis auf eine
-Nullmenge. Dabei ist
die Radon-Nikodým-Ableitung von
bezüglich
.
Für Statistiken
Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik
![{\displaystyle T:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (\Omega ^{*},{\mathcal {A}}^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6bb962d53d3fb13e01b8af837963a537e5bc8a)
suffizient genau dann, wenn eine
-messbare Funktion
existiert und für jedes
eine
-messbare Funktion
existiert, so dass
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(T(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e59ffdd70a97ce65f1fdc56cf5d0d89b65bda7c)
gilt bis auf eine
-Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass
eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn
eine suffiziente σ-Algebra ist.
Beispiel: Suffizienz der Exponentialfamilie
Per Definition hat für die Exponentialfamilie
bezüglich
jedes
die Dichtefunktion
![{\displaystyle f_{\vartheta }(x)={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \mu }}(x)=C(\vartheta )h(x)\exp(\langle Q(\vartheta );T(x)\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ba170f1393a963f761bfdbbbf442bcc1989bd1)
Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung.
und
sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch
![{\displaystyle f_{P}(y)={\tilde {f}}_{\vartheta }(y)=C(\vartheta )\exp(\langle Q(\vartheta );y\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca5d5164b6b5e90e1d0e05609943d25e24ba31d)
um zu zeigen, dass
eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.
Literatur
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.