Die mehrdimensionale Kettenregel oder verallgemeinerte Kettenregel ist in der mehrdimensionalen Analysis eine Verallgemeinerung der Kettenregel von Funktionen einer Variablen auf Funktionen und Abbildungen mehrerer Variablen. Sie besagt, dass die Verkettung von (total) differenzierbaren Abbildungen bzw. Funktionen differenzierbar ist und gibt an, wie sich die Ableitung dieser Abbildung berechnet.
Mehrdimensionale Ableitungen
Ist
eine differenzierbare Abbildung, so ist die Ableitung von
im Punkt
, geschrieben
,
oder
, eine lineare Abbildung, die Vektoren im Punkt
auf Vektoren im Bildpunkt
abbildet. Man kann sie durch die Jacobi-Matrix darstellen, die mit
,
oder auch mit
bezeichnet wird, und deren Einträge die partiellen Ableitungen sind:
![{\displaystyle J_{f}(p)=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(p)\right)_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(p)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(p)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(p)\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac6f2940fbbb1cb5ad3de60d80a22bc7dbec6e6)
Die Kettenregel besagt nun, dass die Ableitung der Verkettung zweier Abbildungen gerade die Verkettung der Ableitungen ist, bzw. dass die Jacobi-Matrix der Verkettung das Matrizenprodukt der Jacobi-Matrix der äußeren Funktion mit der Jacobi-Matrix der inneren Funktion ist.
Satz
Sind
und
differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Verkettung
differenzierbar. Ihre Ableitung im Punkt
ist die Hintereinanderausführung der Ableitung von
im Punkt
und der Ableitung von
im Punkt
:
![{\displaystyle D(g\circ f)_{p}=Dg_{f(p)}\circ Df_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385e8e251338fd14110cf2cd9e3d213a050555c5)
bzw.
![{\displaystyle (g\circ f)'(p)=g'(f(p))\circ f'(p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516d17770af968287c7dd32d796bc1c64c31134d)
Für die Jacobi-Matrizen gilt entsprechend:
,
bzw.
![{\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)}{\partial x}}(p)={\frac {\partial g}{\partial y}}(f(p))\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6318c0ccf81bc926fc957bf073423fc00a76e72e)
wobei der Punkt die Matrizenmultiplikation bezeichnet. Hier werden die Koordinaten im Definitionsbereich
von
mit
bezeichnet, die Koordinaten im Bildraum
von
und damit dem Definitionsbereich von
mit
. Ausgeschrieben mit den Komponenten der Abbildungen und den partiellen Ableitungen:
![{\displaystyle {\frac {\partial h_{i}}{\partial x_{j}}}(p)=\sum _{k=1}^{l}{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{k}}}(f(p))\cdot {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b404a47cef4ca2a67c123426f5a7ef0597b7595d)
Höhere Differenzierbarkeit
Sind, für ein
, die Abbildungen
und
von der Klasse
, das heißt
-mal stetig differenzierbar, so ist auch
von der Klasse
. Dies ergibt sich durch wiederholtes Anwenden der Kettenregel und der Produktregel auf die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen.
Spezialfall n = m = 1
Häufig möchte man die Ableitung einer gewöhnlichen reellen Funktion
bestimmen, die aber über einen mehrdimensionalen „Umweg“ definiert ist:
mit
und
.
In diesem Fall lässt sich die Kettenregel wie folgt schreiben:
![{\displaystyle h'(x)={\frac {\partial g}{\partial y_{1}}}(f(x))\cdot f_{1}'(x)+\dots +{\frac {\partial g}{\partial y_{l}}}(f(x))\cdot f_{l}'(x)=\operatorname {grad} \ g(f(x))\cdot f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c821187e6065936840301a0b60925ffeaf1ffc)
Der letzte Malpunkt bezeichnet dabei das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, dem Gradienten
![{\displaystyle \operatorname {grad} \ g=\nabla g=\left({\frac {\partial g}{\partial y_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial g}{\partial y_{l}}}\right)^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96fc84042296637e39400168b6a9e7417dc7578)
der Funktion
, ausgewertet an der Stelle
, und der vektorwertigen Ableitung
der Abbildung
.[1]
Kettenregel und Richtungsableitung
Für den Spezialfall
,
, mit
, ist
![{\displaystyle (g\circ f)'(0)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}g(a+tv)=D_{v}g(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ab9845f166e03b13b89aaee8afa1ce4cda627c)
die Richtungsableitung von
im Punkt
in Richtung des Vektors
. Aus der Kettenregel folgt dann
![{\displaystyle (g\circ f)'(0)=\operatorname {grad} \ g(f(0))\cdot f'(0)=\operatorname {grad} \ g(a)\cdot v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9686645787434687d82c3534f73d2e925a64831e)
Es ergibt sich also die übliche Formel für die Berechnung der Richtungsableitung:
[1]
Beispiel
![{\displaystyle h(x)=g(\cos x,\sin x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed98cdfe9fed4b66d7ca17faacfa28422afd6d4)
In diesem Beispiel bildet
die äußere Funktion, abhängig von
. Somit ist
![{\displaystyle g'(y)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial y_{2}}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ffea58ded1469144baf6120b173dd6ff3d1324)
Als innere Funktion setzen wir
, abhängig von der reellen Variablen
. Ableiten ergibt
![{\displaystyle f'(x)={\begin{pmatrix}f_{1}'(x)\\f_{2}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin x\\\cos x\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481397bee4e0d5087b340732801f85efcf1099ad)
Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))\cdot f'(x)=\left.{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial y_{2}}}\end{pmatrix}}\right|_{y=f(x)}\cdot {\begin{pmatrix}-\sin x\\\cos x\end{pmatrix}}\\&=-\sin {x}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y_{1}}}(\cos {x},\sin {x})+\cos {x}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y_{2}}}(\cos {x},\sin {x})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f0923df168018f77ce4d219579c2cebd1e1c2f)
Ein additives Beispiel mittels Substitution
Um die Ableitung von
zu ermitteln, kann man die Funktion zum Beispiel
schreiben und dann die Ketten- und Produktregel anwenden, was zu der Ableitung
![{\displaystyle f'(x)=e^{x\ln x}\left(x\cdot {\frac {1}{x}}+1\cdot \ln x\right)=x^{x}+x^{x}\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0261ad105bee9d022e80346d283eee2a466eef)
führt. Eine alternative Möglichkeit der Ableitung dagegen bestünde in der Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel:
Sei die Funktion
, lauten ihre beiden 1. partiellen Ableitungen
und – aufgrund der Umformung
leicht einzusehen –
. Ersetzt man nun
und
durch die beiden Hilfsfunktionen
und
, ergibt sich mit
und og. mehrdimensionaler Kettenregel:
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\partial g}{\partial u}}(x,x)\,h_{1}'(x)+{\frac {\partial g}{\partial v}}(x,x)\,h_{2}'(x)=x\,x^{x-1}\cdot 1+x^{x}\ln x\cdot 1=x^{x}+x^{x}\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5841ed3515a6932036f05a1b123558e60836034f)
Diese Vorgehensweise kann man etwa so beschreiben:
- Man leitet
nach dem
in der Basis ab, wobei man das
im Exponenten als eine Konstante betrachtet, - man leitet
nach dem
im Exponenten ab, wobei man das
in der Basis als eine Konstante betrachtet, - man addiert die Ergebnisse.
Der „Trick“ hierbei ist, dass man
in der Basis und
im Exponenten, obwohl sie gleichlauten, unterscheidet.
Diese Herleitung ist allgemein anwendbar, z. B. liefert sie ganz einfach auch die Leibnizregel für Parameterintegrale.
Verallgemeinerung auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Sind
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung, so ist die Ableitung
oder
von
im Punkt
eine lineare Abbildung vom Tangentialraum von
im Punkt
in den Tangentialraum von
im Bildpunkt
:
![{\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2caecff3e4f88fe82202790564ba33aee1cf150)
Andere Bezeichnungen dafür sind: Differential (dann oft
geschrieben), Pushforward (
) und Tangentialabbildung (
).
Die Kettenregel besagt dann: Sind
,
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ist
die Verkettung der differenzierbaren Abbildungen
und
, so ist auch
differenzierbar und für die Ableitung im Punkt
gilt:
![{\displaystyle Dh_{p}=Dg_{f(p)}\circ Df_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e03b93de6017591da79d2fde83f7b182eaf6f6)
Kettenregel für Fréchet-Ableitungen
Die Kettenregel gilt ganz entsprechend für Fréchet-Ableitungen.
Gegeben seien Banach-Räume
,
und
, offene Teilmengen
und
und Abbildungen
und
.
Ist
an der Stelle
und
an der Stelle
differenzierbar, so ist auch die Verkettung
an der Stelle
differenzierbar und es gilt
![{\displaystyle (A\circ B)'(\varphi )=A'(B(\varphi ))\circ B'(\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa4afba39670d90026fcca8646b873c824f4377)
Literatur
- Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 9. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1231-5.
- Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.
- Geiger, Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer, Berlin / Heidelberg 2002, ISBN 978-3-540-42790-2.
Einzelnachweise und Anmerkungen
- ↑ a b Physiker schreiben hier die Vektoren,
bzw.
, mit Vektorpfeilen (
,
) oder mit Fettdruck (
bzw.
). Das hat u. a. den Vorteil, dass man sofort erkennt, dass
im Gegensatz zu
eine eindimensionale Variable ist.