Manin-Mumford-Vermutung

In der Mathematik ist die Manin-Mumford-Vermutung ein von Michel Raynaud bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der unabhängig von Juri Manin und David Mumford vermutet worden war.

Er besagt, dass für eine über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definierte abelsche Varietät ${\displaystyle A}$ und eine Kurve ${\displaystyle X\subset A}$ vom Geschlecht mindestens ${\displaystyle 2}$, es nur endlich viele Torsionspunkte in ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ gibt. Insbesondere erhält man für die Jacobi-Varietät ${\displaystyle Jac(C)}$ einer algebraischen Kurve ${\displaystyle C}$, dass im Fall ${\displaystyle Jac(C)\not =C}$ die Kurve ${\displaystyle C\subset Jac(C)}$ nur endlich viele Torsionspunkte (für die Gruppenstruktur der Jacobi-Varietät als abelsche Varietät) enthalten kann. (Das war die ursprüngliche Formulierung der Vermutung.)

Allgemeinere Formen der Manin-Mumford-Vermutung sind die Mordell-Lang-Vermutung und die Bogomolow-Vermutung. Der Beweis der Mordell-Lang-Vermutung benötigte die Manin-Mumford-Vermutung zusammen mit der von Faltings bewiesenen Mordell-Vermutung. Die Bogomolow-Vermutung wurde von Ullmo und Zhang bewiesen.

Neben dem ursprünglichen, Arithmetik über Zahlkörpern benutzenden Beweis Raynauds gab es noch mehrere Beweise, darunter solche, die Modelltheorie (Ehud Hrushovski) und o-Minimalität verwenden. Einen fast nur klassische algebraische Geometrie verwendenden Beweis, der auf dem Beweis von Hrushovski basierte, gaben Richard Pink und Damian Rössler.^[1] Sie bewiesen die Manin-Mumford-Vermutung auch für abelsche Varietäten über Körpern endlicher Charakteristik.

• M. Raynaud: Courbes sur une variété abélienne et points de torsion. Invent. Math. 71, 207–233 (1983).
• J. Oesterlé: Courbes sur une variété abélienne. [D’après M. Raynaud]. Sémin. Bourbaki, 36e année, Vol. 1983/84, Exp. No. 625, Astérisque 121–122, 213–224 (1985).
• P. Tzermias: The Manin-Mumford conjecture: a brief survey. Bull. Lond. Math. Soc. 32, No. 6, 641–652 (2000).

1. ↑ Richard Pink, Damian Roessler: On Hrushovski's proof of the Manin-Mumford conjecture. International Congress of Mathematicians, Peking 2002, Band 1, S. 539, Arxiv