Lokal (Topologie)

Man sagt in der mathematischen Topologie, eine Eigenschaft topologischer Räume gelte lokal für einen topologischen Raum ${\displaystyle T}$, wenn für jede Wahl eines Punktes ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle T}$ eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle x}$ existiert, deren Elemente die Eigenschaft haben.

Eine Eigenschaft topologischer Räume heißt lokal, wenn sie mit der zugehörigen lokalen Eigenschaft übereinstimmt.

Lokale Eigenschaften:

• Stetigkeit

Oft ist die lokale Eigenschaft schwächer als die ursprüngliche:

• lokal zusammenziehbar ist schwächer als zusammenziehbar
• lokalkompakt ist schwächer als kompakt
• lokal Hausdorffsche Räume sind nicht notwendig Hausdorffsch

Manchmal ist die lokale Eigenschaft stärker als die ursprüngliche:

• lokal einfachzusammenhängend ist stärker als semilokal einfachzusammenhängend

Im Allgemeinen ist die lokale Eigenschaft weder stärker noch schwächer:

• Der Kamm ist wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend, der diskret topologisierte zweielementige Raum ist lokal wegzusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.
• Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums heißt lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.
• Ein topologischer Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

• Eric W. Weisstein: Local. In: MathWorld (englisch).