Kriterium von Dirichlet

Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz

Kriterium

Die Reihe

∑ k = 0 ∞ a k b k {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}b_{k}}

mit a k ∈ R , b k ∈ C {\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} ,b_{k}\in \mathbb {C} } konvergiert, wenn ( a k ) k ∈ N {\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }} eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge ( B n ) n ∈ N {\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }} der Partialsummen

B n = ∑ k = 0 n b k {\displaystyle B_{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}b_{k}}

beschränkt ist.[1]

Beweis

Es gilt (siehe Partielle Summation)

∑ k = 0 n + 1 a k b k = a n + 1 B n + 1 + ∑ k = 0 n B k ( a k − a k + 1 ) {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}a_{k}b_{k}=a_{n+1}B_{n+1}+\sum \limits _{k=0}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})} .

Der erste Summand konvergiert gegen null, da B n {\displaystyle B_{n}} voraussetzungsgemäß durch eine Konstante M {\displaystyle M} beschränkt ist und a n {\displaystyle a_{n}} gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn a k − a k + 1 ≥ 0 {\displaystyle a_{k}-a_{k+1}\geq 0} für alle k {\displaystyle k} und damit

∑ k = 0 n | B k ( a k − a k + 1 ) | ≤ ∑ k = 0 n M ( a k − a k + 1 ) = M ( a 0 − a n + 1 ) → M a 0 {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}\left|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leq \sum \limits _{k=0}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{0}-a_{n+1})\rightarrow Ma_{0}} .

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz

Die Reihe

∑ k = 0 ∞ a k ( x ) b k ( x ) {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}(x)b_{k}(x)}

ist im Intervall J {\displaystyle J} gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe ∑ b k ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum b_{k}(x)} gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge ( a k ( x ) ) {\displaystyle (a_{k}(x))} gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste x {\displaystyle x} monoton.[2]

Siehe auch

  • Kriterium von Abel
  • Leibniz-Kriterium (behandelt den Spezialfall b k = ( − 1 ) k {\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}} )

Einzelnachweise

  1. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, IV, Satz 33.14, S. 208/643 S. 
  2. ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1996, ISBN 3-540-59111-7, S. 342 ff./604 S (Auflage 1964 (Memento vom 11. Januar 2013 im Webarchiv archive.today)).