In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion beziehungsweise das Exponentialintegral eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die Kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit sehr wohl elementar darstellbar. Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen.
Inhaltsverzeichnis
1Definition
2Abgewandelte Integralexponentialfunktionen
3Integralhyperbelfunktionen
4Literatur
5Weblinks
Definition
Das Exponentialintegral ist über folgende Formel definiert:
Da bei divergiert, ist das obige Integral für als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.
Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung
Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus verwandt, es gilt
Abgewandelte Integralexponentialfunktionen
Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:
Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da
Die Funktion ist eine ganze Funktion und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt:
Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrücken gelten diese Beziehungen:
Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion:
Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden:
Integralhyperbelfunktionen
Durch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrücken werden die Integralhyperbelfunktionen und gebildet:
So lauten ihre Integraldefinitionen:
Literatur
William H. Press et al.: Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York 1989.
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. (Siehe Kapitel 5).
R. D. Misra: Proc. Cambridge Phil. Soc. Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: On the stability of crystal lattices. II, S. 173–182)
Weblinks
Eric W. Weisstein: Exponential Integral. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: En-Function. In: MathWorld (englisch).