Freie Poisson-Verteilung

In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ist die freie Poisson-Verteilung das Gegenstück zu der Poisson-Verteilung aus der üblichen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Definition

Die freie Poisson-Verteilung[1] mit Parametern α {\displaystyle \alpha } und λ {\displaystyle \lambda } ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung

( ( 1 − λ N ) δ 0 + λ N δ α ) ⊞ N {\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}

für N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } .

Genauer: Seien X N {\displaystyle X_{N}} Zufallsvariable, so dass X N {\displaystyle X_{N}} den Wert α {\displaystyle \alpha } mit Wahrscheinlichkeit λ / N {\displaystyle \lambda /N} und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1 − λ / N {\displaystyle 1-\lambda /N} annimmt. Sei weiterhin die Familie X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von X 1 + ⋯ + X N {\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}} im Grenzwert N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern α {\displaystyle \alpha } und λ {\displaystyle \lambda } gegeben.

Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.

Explizite Form

Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende Form[2]

μ = { ( 1 − λ ) δ 0 + ν , wenn  0 ≤ λ ≤ 1 ν , wenn  λ > 1 , {\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{wenn }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{wenn }}\lambda >1,\end{cases}}}

wobei

ν = 1 2 π α t 4 λ α 2 − ( t − α ( 1 + λ ) ) 2 d t {\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}

den Träger [ α ( 1 − λ ) 2 , α ( 1 + λ ) 2 ] {\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}]} hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch κ n = λ α n {\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}} .

Zusammenhang mit Zufallsmatrizen

Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.

Einzelnachweise

  1. ↑ Lectures on the Combinatorics of Free Probability by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006
  2. ↑ James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.