Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Maß in der Maßtheorie mit ein-elementigem Träger. Das Diracmaß ist die Verteilung einer fast sicher konstanten Zufallsvariable, und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der Delta-Distribution.
Definition
Es sei ein messbarer Raum
gegeben, also eine Grundmenge
zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra
. Zu jedem Punkt
wird eine zugehörige Abbildung
definiert, die jeder Menge
den Wert
zuordnet, wenn sie
enthält, und den Wert
, wenn sie
nicht enthält:
![{\displaystyle \delta _{z}(A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}z\in A\ ,\\0\ ,&\mathrm {sonst} \ .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04e8f23404a0983770e43bbc4a2429d1673b820)
Die Abbildung
ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt
genannt. Wegen
ist
sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und
ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß
ist die Einheitsmasse im Punkt
konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.
Mit Hilfe der charakteristischen Funktion
kann man die definierende Gleichung auch durch
![{\displaystyle \,\delta _{z}(A)=\chi _{A}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7080cff5dbe39bbe2590f916a2805a6ef2868b)
für alle
und
ausdrücken.
Eigenschaften des Dirac-Maßes
sei das Dirac-Maß, das auf einem festen Punkt
in einem messbaren Raum
zentriert ist.
ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und damit ein endliches Maß.
Angenommen, dass
ein topologischer Raum ist und dass
mindestens so fein ist wie die Borel-Algebra
-Algebra
auf
ist, dann gilt:
ist ein streng positives Maß, wenn und nur wenn die Topologie
so ist, dass
innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt, z. B. im Fall der trivialen Topologie
. - Da
ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist es auch ein lokal endliches Maß. - Wenn
ein topologischer Hausdorff-Raum mit seiner Borel
-Algebra ist, dann erfüllt
die Bedingung, ein inneres reguläres Maß zu sein, da Singleton-Mengen wie
immer kompakt sind. Folglich ist
auch ein Radon-Maß. - Unter der Annahme, dass die Topologie
fein genug ist, dass
geschlossen ist, was in den meisten Anwendungen der Fall ist, ist die Unterstützung von
gleich
. (Andernfalls ist
der Abschluss von
in
). Außerdem ist
das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Unterstützung
ist. - Wenn
ein
-dimensionaler euklidischer Raum
mit seiner üblichen
-Algebra und
-dimensionalem Lebesgue-Maß
ist, dann ist
ein singuläres Maß in Bezug auf
: Man zerlegen einfach
als
und
und stellt fest, dass
. - Das Dirac-Maß ist ein
-finites Maß.
Dirac-Integral
Das Dirac-Integral der Funktion
ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.
![{\displaystyle \int _{A}f\mathrm {d} \delta _{z}={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc4214f3e3c582370060b86fc660edbcad327fa)
Begründung
Die Abbildung
sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist durch
![{\displaystyle \int _{A}f\mathrm {d} \delta _{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d67a3f4f2096c6faa36b4de435a405fb7fb6846)
definiert, wobei
eine beliebige Folge einfacher Funktionen ist, die punktweise und monoton wachsend gegen
konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte
annimmt.
sei die Anzahl der Funktionswerte
;
seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion
jeweils den Wert
annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:
![{\displaystyle \int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}(n)\delta _{z}(A_{i}(n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b722ab87a1d5b4c8f6b422c4597c876bb740057b)
Ist
, dann ist
erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen
. Dann ist auch das Dirac-Maß von allen
gleich Null. Folglich ist das Integral über
insgesamt gleich Null.
Ist
für irgendein
, so ist das Dirac-Maß von
gleich
; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen
ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen
ergibt sich somit:
![{\displaystyle \int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\alpha _{j}(n)=f_{n}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c332810c1c416ec520f246d24fa0aab0cf2dc0c)
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(z)=f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b73b172bea1d590cbcdf656b4e667567b6f471)
Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle
, wenn
ist.
Eine andere Beweisführung erfolgt so:
Für alle
und
gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{A}f\,\mathrm {d} \delta _{z}&=\int \limits _{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})}f\,\mathrm {d} \delta _{z}+\int \limits _{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})}f\,\mathrm {d} \delta _{z}\\&=\int \limits _{\{x\in A\mid f(x)=f(z)\}}f\,\mathrm {d} \delta _{z}+\int \limits _{\{x\in A\mid f(x)\neq f(z)\}}f\,\mathrm {d} \delta _{z}\\&=f(z)\delta _{z}(A)+0\\&=f(z)\delta _{z}(A)\\&={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e712778e92608ddc26e5fa747ab535cdf4152f6a)
Als einelementige Teilmenge von
ist
. Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist
und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.
Falls
, so ist auch eine Integration über
und
möglich.
Siehe auch
Literatur
- Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
- Jean Dieudonnè 1976: Treatise on analysis, Part 2 (Seite 100), ISBN 0-12-215502-5
- Benedetto, John (1997): "§2.1.3 Definition, δ" Harmonic analysis and applications. CRC Press (Seite 72), ISBN 0-8493-7879-6