Bers-Schnitt
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Bers-Einbettung.png/220px-Bers-Einbettung.png)
In der Mathematik sind Bers-Schnitte (engl. Bers slices) die Bilder gewisser Einbettungen des Teichmüller-Raums in den Raum der quasifuchsschen Gruppen. Sie haben oft eine fraktale Gestalt.
Bers-Schnitte und die mit ihrer Hilfe definierte skinning map spielen eine Rolle in vielen Beweisen der niedrig-dimensionalen Geometrie, zum Beispiel in Thurstons Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.
Konstruktion
Sei eine geschlossene Fläche und die zugehörige Flächengruppe. Man bezeichnet mit den Teichmüller-Raum von und mit den Raum aller derjenigen Homomorphismen , deren Bild eine quasifuchssche Gruppe ist.
Simultane Uniformisierung gibt eine Bijektion
- .
Für ein fixiertes heißt dann die
entsprechende Teilmenge von der (zu gehörende) Bers-Schnitt.
Bers-Kompaktifizierung
Mittels der Einbettung von in den Modulraum der markierten hyperbolischen Mannigfaltigkeiten homotopieäquivalent zu kann man den Bers-Schnitt in diesen Modulraum einbetten. Sein Bild ist relativ kompakt, seine Kompaktifizierung heißt Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums.
Kerckhoff und Thurston haben bewiesen, dass die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf der Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums nicht stetig ist. Insbesondere stimmt die Bers-Kompaktifizierung nicht mit Thurstons Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums überein.
Skinning map
Für eine geometrisch endliche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit gibt ihr konformer Rand einen Punkt im Teichmüller-Raum . Andererseits ist das Bild von eine quasifuchssche Gruppe und gibt somit einen Punkt in . Die so definierte Abbildung
ist auf der ersten Komponente die Identitätsabbildung, ist also von der Form
- .
Die Abbildung
heißt skinning map.
Thurstons Bounded Image Theorem besagt, dass das Bild der skinning map endlichen Durchmesser hat. Es ist ein wesentlicher Schritt beim Beweis der Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.
Literatur
- Lipman Bers: Uniformization, moduli, and Kleinian groups. Bull. London Math. Soc. 4 (1972), 257–300. pdf
- Komori-Sugawa: Bers embedding of the Teichmüller space of a once-punctured torus. Conform. Geom. Dyn. 8 (2004), 115–142 pdf
- Komori-Sugawa-Wada-Yamashita: Drawing Bers embeddings of the Teichmüller space of once-punctured tori. Experiment. Math. 15 (2006), no. 1, 51–60. pdf