Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus
Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.
Schreibweisen:
Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es gilt:
Oft werden genau bei der Umkehrfunktion auch Spitzklammern um die Minus Eins geschrieben, um diese Verwechselung zu verhindern.
Inhaltsverzeichnis
1Definitionen
1.1Infinitesimalanalytische Definition
1.2Geometrische Definitionen
2Eigenschaften
3Reihenentwicklungen
4Ableitungen
5Integrale
5.1Reguläre Areafunktionen artanh und arcoth
5.2Kardinalische Areafunktionen
5.3Beispielwerte
6Additionstheoreme
7Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen
8Siehe auch
9Weblinks
Definitionen
Infinitesimalanalytische Definition
Areatangens hyperbolicus:
Areakotangens hyperbolicus:
Geometrische Definitionen
Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung und der Hyperbel überstreicht: Es seien und Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche überstrichen.
Eigenschaften
Areatangens hyperbolicus
Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich
Wertebereich
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
keine
Symmetrien
ungerade Funktion:
ungerade Funktion:
Asymptoten
Nullstellen
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
keine
Reihenentwicklungen
Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind
Ableitungen
Integrale
Reguläre Areafunktionen artanh und arcoth
Die Stammfunktionen von Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus lauten:
Kardinalische Areafunktionen
Weder der kardinalische Areatangens hyperbolicus noch sein Kehrwert sind mit elementaren Stammfunktionen integrierbar.
Aber die Integrale von Null bis Eins des kardinalischen Areatangens hyperbolicus sowie vom Kehrwert dieser Funktion sind beide elementar darstellbar.
Die Ursprungsstammfunktion des Areatangens hyperbolicus cardinalis ist die Legendresche Chifunktion zum Index Zwei:
Mit dem Kürzel wird der Arkussinus dargestellt.
Beispielwerte
Beispielsweise gelten diese Werte:
Wenn der Kehrwert des Areatangens Hyperbolicus Cardinalis von Null bis Eins integriert wird, dann entsteht das Siebenfache der Apéry-Konstante dividiert durch das Quadrat der Kreiszahl:
Wenn der Kehrwert des Areatangens Hyperbolicus Cardinalis durch die Pythagoräische Gegenstückfunktion geteilt wird, dann entsteht das Vierfache der Catalan-Konstante dividiert durch die Kreiszahl:
Wenn der Kehrwert vom Quadrat des Areatangens Hyperbolicus Cardinalis von Null bis Eins integriert wird, dann entsteht folgender Wert:
Additionstheoreme
Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen
Siehe auch
Trigonometrische Funktionen
Kreis- und Hyperbelfunktionen
Weblinks
Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Tangent. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Cotangent. In: MathWorld (englisch).