Active-Set-Methoden

Active-Set-Methoden sind eine Klasse iterativer Algorithmen zur Lösung von quadratischen Optimierungsproblemen.

Jedes quadratische Programm kann in eine standardisierte Form überführt werden:^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}&{\frac {1}{2}}x^{T}Hx+c^{T}x&=f(x)\\s.t.&a_{i}^{T}x\geq b_{i}&\forall i\in {\mathcal {I}}\\&a_{j}^{T}x=b_{j}&\forall j\in {\mathcal {E}}\end{array}}}$

wobei ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Entscheidungsvariablen ist. In der Zielfunktion ${\displaystyle f(x)}$ entspricht ${\displaystyle H}$ der Hesse-Matrix, die Mengen ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ indizieren die Ungleichheits- und Gleichheitsbedingungen. Oft wird dabei gefordert, dass die Matrix ${\displaystyle H}$ positiv semidefinit ist, da dann das Optimierungsproblem konvex ist.

Eine Nebenbedingung ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ ist aktiv an einem Punkt ${\displaystyle x}$, wenn ${\displaystyle a_{i}^{T}x=b_{i}}$ gilt.

Das Active Set ${\displaystyle {\mathcal {A}}(x)}$ ist die Menge aller aktiven Bedingungen an einem gültigen Punkt ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\mathcal {A}}(x):=\{j\in {\mathcal {E}}\cup i\in {\mathcal {I}}:a_{i}^{T}x=b_{i}\}}$

Active-Set-Methoden setzen eine initiale gültige Lösung ${\displaystyle x_{0}}$ voraus. Die Algorithmen berechnen dann in jeder Iteration einen gültigen Punkt ${\displaystyle x_{k}}$, bis ein Optimum erreicht ist. Dabei wird eine Menge ${\displaystyle W_{k}}$ verwaltet, die angibt, welche Nebenbedingungen in der aktuellen Iteration aktiv sein sollen.^[2]

 1  Gegeben: gültiger Punkt ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle W_{0}\subseteq {\mathcal {A}}(x_{0})}$
 2
 3  for k=0,1,.. do
 4  berechne eine Suchrichtung ${\displaystyle p_{k}}$
 5  if ${\displaystyle p_{k}=0}$
 6    berechne Lagrange-Multiplikatoren ${\displaystyle \lambda _{i}}$
 7    if ${\displaystyle \forall i:\lambda _{i}\geq 0}$
 8      terminiere und gib ${\displaystyle x_{k}}$ aus
 9    else
10      finde Ungleichheitsbedingung ${\displaystyle i\in W_{k}\cap {\mathcal {I}}}$ mit ${\displaystyle \lambda _{i}<0}$
11      ${\displaystyle W_{k+1}=W_{k}\backslash i}$
12    end
13  else
14    berechne Schrittlänge ${\displaystyle \alpha _{k}}$
15    if ${\displaystyle \alpha _{k}<1}$
16      finde Nebenbedingung j die ${\displaystyle \alpha _{k}}$ beschränkt
17      ${\displaystyle W_{k+1}=W_{k}\cup j}$
18    end
19    ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\alpha _{k}p_{k}}$
20  end

Die Nebenbedingungen in ${\displaystyle W_{k}}$ definieren einen Unterraum. Wenn ${\displaystyle x}$ in der optimalen Lösung der Zielfunktion in diesem Unterraum ist, kann man die Suchrichtung als ${\displaystyle p_{k}=x-x_{k}}$ definieren. Substituiert man dies in die Zielfunktion, erhält man die Suchrichtung ${\displaystyle p_{k}}$ durch Lösen eines quadratischen Subproblems:^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}&{\frac {1}{2}}p_{k}^{T}Hp_{k}+g_{k}^{T}p_{k}\\s.t.&A^{T}p_{k}=0&\forall i\in W_{k}\end{array}}}$

wobei ${\displaystyle g_{k}=Hx_{k}+c}$ der Gradient an der aktuellen Lösung ist und die Spalten der Matrix ${\displaystyle A}$ die Vektoren ${\displaystyle a_{i},i\in W_{k}}$ sind.

Dieses Subproblem kann auf verschiedenen Weisen gelöst werden. Eine Möglichkeit ist dabei ein Nullspace-Ansatz: ^[4]

Hat man eine Matrix ${\displaystyle Z}$, deren Spalten eine Basis für den Kern der Matrix ${\displaystyle A^{T}}$ bilden, kann man den gültigen Bereich des Subproblems durch ${\displaystyle p_{k}=Zu}$ parametrisieren. Löst man nun das Gleichungssystem

${\displaystyle Mu=-Z^{T}g_{k}}$,

wobei ${\displaystyle M=Z^{T}HZ}$ die reduzierte Hesse-Matrix ist, erhält man die Suchrichtung im originalen Problem.

Falls die Suchrichtung ${\displaystyle p_{k}=0}$ ist, ist ${\displaystyle x_{k}}$ bereits optimal im aktuellen Unterraum. Man muss dann eine geeignete Ungleichheitsbedingung aus ${\displaystyle W_{k}}$ entfernen. Die Lagrange-Multiplikatoren ${\displaystyle \lambda _{i}}$ erhält man durch Lösen eines linearen Gleichungssystems:

${\displaystyle \sum _{i\in W_{k}\cap {\mathcal {I}}}a_{i}\lambda _{i}=g_{k}=Hx_{k}+c}$

Falls alle ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ sind, erfüllen ${\displaystyle x_{k}}$ und ${\displaystyle \lambda }$ die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen, welche notwendige Kriterien für die Optimalität sind. Wenn zudem die Hesse-Matrix ${\displaystyle H}$ positiv semidefinit ist, sind diese Bedingungen hinreichend und ${\displaystyle x_{k}}$ ist die optimale Lösung des Problems. Entfernt man eine Ungleichheitsbedingung mit negativem Lagrange-Multiplikator aus ${\displaystyle W_{k}}$ erhält man in der nächsten Iteration eine Suchrichtung.^[5]

Hat man eine Suchrichtung ${\displaystyle p_{k}}$, muss man die maximale Schrittlänge ${\displaystyle \alpha _{k}}$ berechnen. Eine volle Schrittlänge mit ${\displaystyle \alpha _{k}=1}$ führt direkt zum Minimum im durch ${\displaystyle W_{k}}$ definierten Unterraum. Die Schrittlänge ist jedoch häufig durch eine Nebenbedingung ${\displaystyle i\notin W_{k}}$ beschränkt.

Alle Nebenbedingungen in ${\displaystyle i\notin W_{k}}$ mit ${\displaystyle a_{i}^{T}p_{k}\geq 0}$ sind auch am Punkt ${\displaystyle x_{k}+\alpha _{k}p_{k}}$ für alle ${\displaystyle \alpha _{k}\geq 0}$ erfüllt, da dann die Ungleichung

${\displaystyle a_{i}^{T}(x_{k}+\alpha _{k}p_{k})=a_{i}^{T}x_{k}+\alpha _{k}a_{i}^{T}p_{k}\geq a_{i}^{T}x_{k}\geq b_{i}}$

gilt. Alle Nebenbedingungen ${\displaystyle i\notin W_{k}}$ mit ${\displaystyle a_{i}^{T}p_{k}<0}$ werden am neuen Punkt nur dann eingehalten, wenn für diese Nebenbedingungen die Ungleichung

${\displaystyle a_{i}^{T}x_{k}+\alpha _{k}a_{i}^{T}p_{k}\geq b_{i}}$

gilt. Dies ist äquivalent mit der Bedingung

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {b_{i}-a_{i}^{T}x_{k}}{a_{i}^{T}p_{k}}}\qquad \forall \{i\notin W_{k}|a_{i}^{T}p_{k}<0\}}$

Um so nah wie möglich an das Optimum im aktuellen Unterraum zu kommen, kann man die maximale Schrittlänge durch diese Formel berechnen:

${\displaystyle \alpha _{k}=\min(1,\min _{i\notin W_{k},a_{i}^{T}p_{k}<0}{\frac {b_{i}-a_{i}^{T}x_{k}}{a_{i}^{T}p_{k}}})}$

Die Nebenbedingung, die diese Länge beschränkt, wird in die Menge ${\displaystyle W_{k+1}}$ aufgenommen, da diese Nebenbedingung nun aktiv ist.^[6]

• Jorge Nocedal, Stephen J. Wright: Numerical Optimization. Second Edition. Springer, New York 2006, ISBN 978-0387-30303-1, Kapitel 16.5.
• Roger Fletcher: Practical methods of optimization. Second Edition. John Wiley & Sons, 1987, ISBN 978-0-471-49463-8, Kapitel 10.3.

1. ↑ Jorge Nocedal, Stephen J. Wright: Numerical Optimization. Second Edition. Springer, New York 2006, ISBN 978-0387-30303-1, S. 449.
2. ↑ Jorge Nocedal, Stephen J. Wright: Numerical Optimization. Second Edition. Springer, New York 2006, ISBN 978-0387-30303-1, S. 472.
3. ↑ Jorge Nocedal, Stephen J. Wright: Numerical Optimization. Second Edition. Springer, New York 2006, ISBN 978-0387-30303-1, S. 468.
4. ↑ Roger Fletcher: Stable reduced Hessian updates for indefinite quadratic programming. Mathematical Programming (87.2) 2000, S. 251–264.
5. ↑ Jorge Nocedal, Stephen J. Wright: Numerical Optimization. Second Edition. Springer, New York 2006, ISBN 978-0387-30303-1, S. 469f.
6. ↑ Jorge Nocedal, Stephen J. Wright: Numerical Optimization. Second Edition. Springer, New York 2006, ISBN 978-0387-30303-1, S. 468f.