Tropický polookruh
Tropický polookruh je v idempotentní analýze polookruh rozšířených reálných čísel s operacemi minima (nebo maxima) a sčítání, které nahrazují obvyklé („klasické“) operace sčítání a násobení.
Tropický polookruh má různé aplikace (viz tropická analýza), a tvoří základ tropické geometrie. Přívlastek tropický je odkazem na informatika maďarského původu Imre Simona, který zvolil toto pojmenování, protože žil a pracoval v Brazílii.[1]
Definice
Tropický polookruh s minimem (též polookruh min-plus nebo algebra min-plus) je polookruh (ℝ ∪ {+∞}, ⊕, ⊗) s operacemi
Operace ⊕ se nazývá tropické sčítání, operace ⊗ tropické násobení. Jednotkový prvek pro ⊕ je +∞, jednotkový prvek pro ⊗ je 0.
Podobně tropický polookruh s maximem (též polookruh max-plus nebo algebra max-plus) je polookruh (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) s operacemi
Jednotkový prvek pro ⊕ je −∞, a jednotkový prvek pro ⊗ je 0.
Oba polookruhy jsou vzájemně izomorfní; izomorfismem mezi nimi je negace (obrácení znaménka) . Proto lze pracovat jen s jedním z nich a mluvit o něm jednoduše jako o tropickém polookruhu. Různí autoři často v závislosti na oboru použití používají buď tropický polookruh s operací min nebo s operací max.
Tropické sčítání je idempotentní, díky čemuž je tropický polookruh příkladem idempotentního polookruhu.
Tropický polookruh se také nazývá tropická algebra,[2] nesmí se však zaměňovat s asociativní algebrou nad tropickým polookruhem.
Tropické umocňování je definováno obvyklým způsobem jako opakovaný tropický součin (viz umocňování).
Komutativní tělesa s valuací
Operace tropického polookruhu modelují, jak se chovají valuace při sčítání a násobení v komutativním tělese s valuací. Komutativní těleso K reálných čísel s valuací je komutativní těleso opatřené funkcí
které splňuje následující vlastnosti pro všechna a, b v K:
- právě tehdy, když
- s rovností pokud
Valuace v je proto „téměř“ polookruhovým homomorfismem z K do tropického polookruhu, až na to, že vlastnost homomorfismu může selhat, když se sčítají dva prvky se stejnou valuací.
Příklady komutativních těles s valuací:
- Q nebo C s triviální valuací, v(a) = 0 pro všechna a ≠ 0,
- Q nebo nějaké jeho rozšíření s p-adickou valuací, v(pna/b) = n kde a a b jsou relativní prvočísla s p,
- komutativní těleso formálních Laurentových řad K((t)) (celočíselných mocnin) nebo komutativní těleso Puiseuxovy řady K{{t}} nebo komutativní těleso Hahnovy řady s valuací vracející nejmenší exponent t, který se v řadě objevuje.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Tropical semiring na anglické Wikipedii.
- ↑ PIN, Jean-Éric, 1998. Idempotency. [s.l.]: Cambridge University Press. (Publications of the Newton Institute). ISBN 9780511662508. DOI 10.1017/CBO9780511662508.004. Kapitola Tropical semirings, s. 50–69.
- ↑ LITVINOV, Grigoriĭ Lazarevich; SERGEEV, Sergej Nikolaevič. Tropical and Idempotent Mathematics: International Workshop Tropical-07, Tropical and Idempotent Mathematics. [s.l.]: American Mathematical Society, 2009. Dostupné online. ISBN 9780821847824. S. 8.
Literatura
- LITVINOV, G. L. The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: A brief introduction. [s.l.]: [s.n.], 2005. Dostupné online.