Tropický polookruh

Tropický polookruh je v idempotentní analýze polookruh rozšířených reálných čísel s operacemi minima (nebo maxima) a sčítání, které nahrazují obvyklé („klasické“) operace sčítání a násobení.

Tropický polookruh má různé aplikace (viz tropická analýza), a tvoří základ tropické geometrie. Přívlastek tropický je odkazem na informatika maďarského původu Imre Simona, který zvolil toto pojmenování, protože žil a pracoval v Brazílii.^[1]

Tropický polookruh s minimem (též polookruh min-plus nebo algebra min-plus) je polookruh (ℝ ∪ {+∞}, ⊕, ⊗) s operacemi

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Operace ⊕ se nazývá tropické sčítání, operace ⊗ tropické násobení. Jednotkový prvek pro ⊕ je +∞, jednotkový prvek pro ⊗ je 0.

Podobně tropický polookruh s maximem (též polookruh max-plus nebo algebra max-plus) je polookruh (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) s operacemi

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Jednotkový prvek pro ⊕ je −∞, a jednotkový prvek pro ⊗ je 0.

Oba polookruhy jsou vzájemně izomorfní; izomorfismem mezi nimi je negace (obrácení znaménka) ${\displaystyle x\mapsto -x}$. Proto lze pracovat jen s jedním z nich a mluvit o něm jednoduše jako o tropickém polookruhu. Různí autoři často v závislosti na oboru použití používají buď tropický polookruh s operací min nebo s operací max.

Tropické sčítání je idempotentní, díky čemuž je tropický polookruh příkladem idempotentního polookruhu.

Tropický polookruh se také nazývá tropická algebra,^[2] nesmí se však zaměňovat s asociativní algebrou nad tropickým polookruhem.

Tropické umocňování je definováno obvyklým způsobem jako opakovaný tropický součin (viz umocňování).

Operace tropického polookruhu modelují, jak se chovají valuace při sčítání a násobení v komutativním tělese s valuací. Komutativní těleso K reálných čísel s valuací je komutativní těleso opatřené funkcí

${\displaystyle v\colon K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

které splňuje následující vlastnosti pro všechna a, b v K:

${\displaystyle v(a)=\infty }$ právě tehdy, když ${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$ s rovností pokud ${\displaystyle v(a)\neq v(b).}$

Valuace v je proto „téměř“ polookruhovým homomorfismem z K do tropického polookruhu, až na to, že vlastnost homomorfismu může selhat, když se sčítají dva prvky se stejnou valuací.

Příklady komutativních těles s valuací:

• Q nebo C s triviální valuací, v(a) = 0 pro všechna a ≠ 0,
• Q nebo nějaké jeho rozšíření s p-adickou valuací, v(pⁿa/b) = n kde a a b jsou relativní prvočísla s p,
• komutativní těleso formálních Laurentových řad K((t)) (celočíselných mocnin) nebo komutativní těleso Puiseuxovy řady K{{t}} nebo komutativní těleso Hahnovy řady s valuací vracející nejmenší exponent t, který se v řadě objevuje.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Tropical semiring na anglické Wikipedii.

• LITVINOV, G. L. The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: A brief introduction. [s.l.]: [s.n.], 2005. Dostupné online.