neboli soustavou , kde řádky matice tvoří vektory množiny .
Řešením soustavy neboli jádrem matice , a tedy i ortogonálním doplňkem množiny je .
Geometricky lze doplněk interpretovat jako normálu k rovině určené počátkem a body množiny . Nenulové vektory této přímky jsou kolmé nejenom na oba vektory z , ale na všechny vektory roviny .
Jinými slovy, je nejen ortogonální doplněk řádků matice , ale zároveň i ortogonálním doplňkem jejího řádkového prostoru , t.j. prostoru obsahujícího všechny lineární kombinace obou řádků .
Zobecnění pro bilineární formy
Pokud pro vektory a z vektorového prostoru nad tělesem s bilineární formou platí, že , potom je zleva kolmý (ortogonální) k , a také je k kolmý zprava. Pro podmnožinu prostoru se levý ortogonální doplněk definuje jako:
Analogicky lze definovat pravý ortogonální doplněk. Pro bilineární formu, splňující , se levý a pravý doplněk shodují. Uvedený případ nastává, například pokud je symetrická nebo antisymetrická bilineární forma.
Definici doplňku lze rozšířit pro bilineární formy na volném modulu nad komutativními okruhy a pro seskvilineární formy rozšířené tak, aby obsahovaly jakýkoli volný modul na komutativním okruhu s konjugací.
Vlastnosti zobecněného doplňku
Ortogonální doplněk je podprostorem vektorového prostoru .
Pokud , pak .
Doplněk celého prostoru je podprostorem každého ortogonálního doplňku.
Pokud je forma nedegenerovaná a je podprostorem prostoru konečné dimenze, potom platí: .
Vlastnosti
Pro ortogonální doplněk na unitárním prostoru platí všechny vlastnosti uvedené v předchozím odstavci a dále:
Kolmost dvou vektorů a splňuje: , a tak ortogonální doplněk podprostoru prostoru lze zapsat jako množinu:
Prostor má ortogonální rozklad kde značí přímý součet dvou podprostorů.
Speciálními případy Hilbertových prostorů jsou unitární prostory konečné dimenze. V nich je vždy zaručeno, že .
Maticové prostory
Je-li reálná či komplexní matice typu a symboly , a značí řádkový prostor, sloupcový prostor a jádro matice , resp., tak tyto prostory jsou vzájemnými ortogonálními doplňky:
Aplikace
Ve speciální teorii relativity se ortogonální doplněk používá k určení současné nadroviny v bodě světočáry. Bilineární forma použitá v Minkowského prostoru určuje pseudoeuklidovský prostor událostí. Počátek a všechny události na světelném kuželu jsou samy k sobě ortogonální. Když bilineární forma zobrazí časovou a prostorovou událost na nulu, pak jsou tyto události hyperbolicky ortogonální. Uvedená terminologie vychází z použití dvou sdružených hyperbol v pseudoeuklidovské rovině: sdružené průměry těchto hyperbol jsou hyperbolicky ortogonální.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal complement na anglické Wikipedii.