Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski, a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.
Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.
Definice
Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení
Nechť
je libovolná množina a
její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace
s následujícími vlastnostmi:
[K1] Zachovává prázdnou množinu:
![{\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4234fc2486c090a5617234e1fda92d7b27149c1)
;
[K2] je extenzivní: pro všechny
, je
;
[K3] je idempotentní: pro všechny
, je
;
[K4] zachovává binární sjednocení
(je vůči němu distributivní): pro všechny
![{\displaystyle A,B\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cbebe3113e44afef7d4a0fd3f424efef2855a6)
,
![{\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32d5991c7c08e8666d044da369983a18469da73)
.
Důsledkem toho, že
zachovává binární sjednocení, je
[K4'] je
monotonní:
![{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3627fda8f6533dd44c5087465cbd0c43b77221f1)
.
Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4''] (subaditivity):
[K4''] je
subaditivní: pro všechny
![{\displaystyle A,B\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cbebe3113e44afef7d4a0fd3f424efef2855a6)
,
![{\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5604343df0c06eceace8d4f6c8828ab4fcad5f75)
,
pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4''] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).
Kuratowski 1966 uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny
,
. Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T1-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T1-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).
Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor. Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor.[7] Dvojici
nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy
splňuje.
Alternativní axiomatizace
Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:
[P] Pro všechny
![{\displaystyle A,B\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cbebe3113e44afef7d4a0fd3f424efef2855a6)
,
![{\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab2cbb43dad54e7a33b3119207583af55687fa4)
.
Lze dokázat, že axiomy [K1]–[K4] vyplývají z této podmínky:
- Zvolme
. Pak
nebo
. Z toho okamžitě plyne [K1]. - Zvolme libovolné
a
. Pak použitím axiomu [K1],
, z čehož plyne [K2]. - Zvolme
a libovolné
. Pak použitím axiomu [K1],
, což je [K3]. - Zvolme libovolné
. Použitím axiomů [K1]–[K3] odvodíme [K4].
Monteiro 1945 alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2]–[K4]:
[M] Pro všechny
![{\displaystyle A,B\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cbebe3113e44afef7d4a0fd3f424efef2855a6)
,
![{\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322f658d93d10faa6499a742f93f7907baac698)
.
Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud
, operátor
definovaný přiřazením konstanty
splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože
. Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.
M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2]–[K4]:
[BT] Pro všechny
![{\displaystyle A,B\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cbebe3113e44afef7d4a0fd3f424efef2855a6)
,
![{\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24d2839d4bf8125572b2591126507b32d97033f)
.
Analogické struktury
Operátory vnitřku, vnějšku a hranice
Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení
vyhovující následujícím požadavkům:
[I1] Zachovává celý prostor:
![{\displaystyle \mathbf {i} (X)=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aec9ba0c473a97e4dc7406dcd8cd5efbf41e73a)
;
[I2] je intenzivní: pro všechny
,
;
[I3] je idempotentní: pro všechny
,
;
[I4] Zachovává binární průniky: pro všechny
![{\displaystyle A,B\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cbebe3113e44afef7d4a0fd3f424efef2855a6)
,
![{\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4839ad683e055013c90ef1913c3fc5bdaf5a1d)
.
Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.
Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na
, zobrazení
zobrazující
. Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud
je libovolná množina indexů a
, pak
Použitím těchto zákonů a definičních vlastností
můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace
(a
). Každý výsledek získaný pomocí
lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace
převést na výsledek používající
.
Pervin 1964 dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějšku a Kuratowského operátory hranice, který relací
a
zavádějí také Kuratowského uzávěry.
Abstraktní operátory
Podrobnější informace naleznete v článku Algebra vnitřků.
Všimněte si, že axiomy [K1]–[K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci
na obecném omezeném svazu
, formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1]–[I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.
Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor
na libovolné uspořádané množině
.
Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie
Indukce topologie z uzávěru
Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť
je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina
je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru
právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru
, tj.
. Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina
všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám:
[T1] je
omezený podsvaz ![{\displaystyle \wp (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7050c843936eee5cb9985efbe0d2289f747e33)
, tj.
![{\displaystyle X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231b30a9366089fe28dc0fec393e0d343aae3645)
;
[T2] je uzavřená vůči libovolným průnikům, tj. pokud
je libovolná množina indexů a
, pak
;
[T3] je
uzavřená vůči konečný sjednocení, tj. pokud
![{\displaystyle {\mathcal {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9730a0ada0426927ff64141eb9f505eca132d4)
je konečná množina indexů a
![{\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b9632f899d23268ce0a8583ff0df3f7bbdee57)
, pak
![{\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95cb11079b9a1f1aebffd989c40f0c4fb13bce7)
.
Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát
.
Rozšířený obsah |
[T1] díky extenzivitě [K2], a protože uzávěr převádí potenční množinu na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina ), máme . Tedy . Zachování prázdné množiny [K1] vyplývá z . [T2] nechť dále je libovolná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Z extenzivity [K2], . Také díky izotoničnosti [K4'], pokud pro všechny indexy , pak pro všechna , z čehož plyne . Proto, , význam . [T3] Konečně nechť je konečná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Ze zachování binárního sjednocení [K4] a použitím matematické indukce podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme . Tedy . |
Indukce uzávěru z topologie
Opačně, je-li dána rodina
vyhovující axiomům [T1]–[T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud
a
je horní množinou
vůči inkluzi, pak
definuje Kuratowského operátor uzávěru
na
.
Rozšířený obsah |
[K1] Protože , omezuje na průnik všech množin v rodině ; ale podle axiomu [T1] je , takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme [K1]. [K2] Z definice plyne, že pro všechny , a tedy musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu [K2]. [K3] Všimněte si, že pro všechny , rodina obsahuje samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy , což je idempotence [K3]. [K4’] Nechť : pak , a tedy . Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme , což je izotoničnost [K4']. Všimněte si, že z izotoničnost plyne a , který současně znamená . [K4] Nakonec vezmeme určité . Z axiomu [T2] plyne ; navíc, axiom [T2] vyplývá, že . Díky extenzivitě [K2] máme a , takže . Ale , tak, že všechno ve všech . Protože je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, najdeme . Bod 4 zajišťuje aditivita [K4]. |
Přesná korespondence mezi strukturami
Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud
je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na
, a
je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1]–[T3], pak
takový, že
je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení
.
Rozšířený obsah |
Nejdříve dokážeme, že , operátor identity na . Pro daný Kuratowského uzávěr , definuje ; pak, pokud jeho primed uzávěr je průnik všech -stabilní množiny, které obsahuje . Jeho neprimed uzávěr vyhovuje tento popis: díky extenzivitě [K2] máme , a díky idempotenci [K3] máme , a tedy . Nyní nechť taková, že : z izotoničnosti [K4'] dostáváme , a protože docházíme k závěru, že . Tedy je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, z čehož plyne . Nyní dokážeme, že . Pokud a je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči , dostáváme, pokud oba a . Nechť : tedy . Protože je průnik libovolné podrodiny , a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle [T2], pak . Opačně, pokud , pak je minimální nadmnožina , která je obsažena v . Ale to je triviálně samotné , z čehož plyne . |
Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci
na kolekci
všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje
; toto rozšíření
je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na
indukují také topologii na
. To však znamená, že
už není bijekcí.
Příklady
| Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte. |
- Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor
, můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny
jako množinu
, tj. průnik všech uzavřených množin
které obsahují
. Množina
je nejmenší uzavřenou množinou
obsahující
, a operátor
je Kuratowského operátor uzávěru. - Pokud
je jakákoli množina, operátory
takové, že
jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii
, zatímco druhý zavádí diskrétní topologii
.
- Vezmeme libovolné
, a nechť
je takové, že
pro všechny
. Pak
definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin
se shoduje s
, rodinou všech podmnožin, které obsahují
. Když
, znovu získáme diskrétní topologii
(tj.
, jak je vidět z definice). - Pokud
je nekonečné kardinální číslo takové, že
, pak operátor
takový, že
vyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům.[12] Pokud
, tento operátor zavádí kofinitní topologii na
; pokud
, pak zavádí ko-spočetnou topologii.
Vlastnosti
- Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci
, za předpokladu, že chápeme
jako množinu uspořádanou inkluzí, a
jako uspořádaná podmnožina
. Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny
a
,
právě tehdy, když
. - Pokud
je podrodina
, pak ![{\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c86aad1830f3a94dd663a61da98052e59b9cf84)
- Pokud
, pak
.
Topologické koncepty používající uzávěr
Zjemnění a podprostory
Dvojice Kuratowského uzávěrů
takových, že
pro všechny
indukuje topologii
takovou, že
, a naopak. Jinými slovy
dominuje
právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně
. Například
jasně dominuje
( druhý pouze je identity na
). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí
s rodinou
obsahující komplementy všech členů, pokud je na
definováno částečné uspořádání
pro všechny
a
je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že
je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.
V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A:
, pro všechny
.
Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy
Funkce
je spojitá v bodě
právě tehdy, když
, a všude spojitá právě tehdy, když
pro všechny podmnožiny
. Zobrazení
je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze, a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.
Oddělovací axiomy
Nechť
je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak
je T0-prostor právě tehdy, když z
plyne
;
je T1-prostor právě tehdy, když
pro všechny
;
je T2-prostor právě tehdy, když z
vyplývá, že existuje množina
taková, že
a zároveň
, kde
je operátor množinového doplňku.[20]
Blízkost a oddělenost
Bod
je blízký k podmnožině
, pokud
To lze použít pro definici relace proximity pro body a podmnožiny dané množiny.
Dvě množiny
jsou oddělené právě tehdy, když
. Prostor
je souvislý právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.
Odkazy
Poznámky
- ↑ Moore closure [online]. nLab, 2015-03-07 [cit. 2019-08-19]. Dostupné online.
- ↑ Důkaz pro případ
lze nalézt v Is the following a Kuratowski closure operator?! [online]. 2015-11-21. Dostupné online. - ↑ Důkaz je uveden v tomto dokumentu.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kuratowski closure axioms na anglické Wikipedii.
- KURATOWSKI, Kazimierz. Sur l'opération A de l'Analysis Situs. [s.l.]: [s.n.] Dostupné online. S. 182–199. (francouzsky)
- KURATOWSKI, Kazimierz, 1966. Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 0-12-429201-1.
- PERVIN, William J., 1964. Foundations of General Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 9781483225159.
- ARKHANGEL'SKIJ, A.V.; FEDORCHUK, V.V. General Topology I. Berlin: Springer-Verlag (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). ISBN 978-3-642-64767-3.
- MONTEIRO, António. Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome. [s.l.]: [s.n.], September 1943. Dostupné online. S. 158–160. (francouzsky)
Související články
Externí odkazy
- Alternativní charakterizace topologických prostorů