Kritéria konvergence řad
Kritéria konvergence jsou v matematice metody testování konvergence, podmíněné konvergence, absolutní konvergence, intervalové konvergence nebo divergence nekonečných řad .
Kritéria konvergence
Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady jejím -tým částečným součtem . U konvergentních řad se chyba , které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.
K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.
Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.
Srovnávací kritérium
Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy , přičemž pro všechna platí . Řadu označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě a řadu jako majorantní řadu (majorantu) k řadě . Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. , konverguje také minoranta, tedy . Diverguje-li minoranta , diverguje také majoranta, tedy .
Podílové kritérium
Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy tehdy, existuje-li reálné číslo takové, že pro každé platí . Pokud je , pak řada diverguje.
Limitní podílové kritérium
Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy veličinu , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada konvergentní pro , divergentní pro a pro může být konvergentní nebo divergentní.
Odmocninové kritérium
Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy konverguje, pokud existuje reálné číslo a pro každé platí . Pro případ řada diverguje.
Limitní odmocninové kritérium
Pokud pro řadu s kladnými členy zavedeme , pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro , divergentní pro a pro může konvergovat nebo divergovat.
Raabeovo kritérium
Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy konvergentní tehdy, pokud existuje takové a takové přirozené číslo , že pro všechna platí .
Jestliže existuje takové, že pro všechna platí , pak řada diverguje.
Limitní Raabeovo kritérium
Jestliže pro řadu s kladnými členy zavedeme , pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro , diverguje pro a pro může konvergovat i divergovat.
Integrální kritérium
Nechť je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako . Pokud ve funkci nahradíme diskrétní proměnnou spojitou proměnnou , přičemž bude spojitou a klesající funkcí na intervalu , pak podle tzv. integrálního kritéria je řada konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál . Pokud integrál diverguje, pak diverguje také řada .
Leibnizovo kritérium
Pro alternující řady, které zapíšeme jako , kde , lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje takové, že (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň .
Gaussovo kritérium
[1]Nechť je kladná posloupnost, pro niž existují , kladné a omezená posloupnost taková, že pro všechny platí:
- Když nebo když a , pak řada konverguje.
- Když nebo když a , pak řada diverguje.
Dirichletovo kritérium
Nechť je reálná posloupnost a komplexní posloupnost, pro které platí:
- je od jistého indexu monotonní a ;
- má omezenou posloupnost částečných součtů.
Pak řada konverguje.
Abelovo kritérium
Nechť je reálná posloupnost a komplexní posloupnost, pro které platí:
- je monotonní a omezená;
- je konvergentní řada.
Pak řada konverguje.
Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.
Příklady
Uvažujme řadu
Z Cauchyova kondenzačního testu vyplývá, že (*) je konečně konvergentní, jestliže
je konečně konvergentní. Protože
(**) je geometrická řada s kvocientem . (**) je konečně konvergentní, jestliže její kvocient je menší než jedna (jmenovitě ). Tedy (*) je konečně konvergentní právě tehdy, když .
Konvergence součinů
Většina testů sice zkoumá konvergenci nekonečných řad, ale mohou být také použity pro zjištění konvergence nebo divergence nekonečných součinů. Toho lze dosáhnout použitím následující věty: Nechť je posloupnost kladných čísel. Pak nekonečný součin konverguje právě tehdy, když konverguje řada . Dále obdobně, jestliže platí, pak se blíží nenulové limitě právě tehdy, když konverguje řada .
Tvrzení lze dokázat aplikací funkce logaritmus na součin a použitím věty o porovnání limit.[2]
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Convergence tests na anglické Wikipedii.
Související články
- L'Hospitalovo pravidlo
- Přesunové pravidlo
Literatura
- LEITHOLD, Louis. The Calculus, with Analytic Geometry. 2. vyd. New York: Harper & Row, 1972. Dostupné online. ISBN 0-06-043959-9. S. 655–737.
Externí odkazy
- Flowchart pro výběr kritérium konvergence Archivováno 8. 8. 2010 na Wayback Machine.
Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty. |