Gaborova vlnka

Ukázka Gaborovy vlnky

Dvourozměrná Gaborova vlnka je vlnka používaná k detekci frekvencí v různých směrech. Mezi její aplikace patří klasifikace textury, segmentace textury nebo registrace obrazů.

Definice

V jednorozměrném případě sestává Gaborova funkce z komplexní exponenciály lokalizované kolem 0 {\displaystyle 0} oknem ve tvaru Gaussovy funkce.

g α , ξ ( x ) = α / π e − α x 2 e − i ξ x α ∈ R + ξ , x ∈ R {\displaystyle g_{\alpha ,\xi }(x)={\sqrt {\alpha /\pi }}\,e^{-\alpha x^{2}}\,e^{-i\xi x}\quad \alpha \in \mathbb {R} ^{+}\quad \xi ,x\in \mathbb {R} \,}

Parametr α {\displaystyle \alpha } udává šířku Gaussova okna, ξ {\displaystyle \xi } je frekvence kmitající komplexní exponenciály a x {\displaystyle x} je volná proměnná.

Rodina Gaborových funkcí se nazývá vlnky, pokud vznikly roztažením a posunem z jedné elementární Gaborovy funkce (mateřská vlnka).

g α , ξ , a , b ( x ) = | a | − 1 / 2 g α , ξ ( x − b a ) a ∈ R + b ∈ R {\displaystyle g_{\alpha ,\xi ,a,b}(x)=|a|^{-1/2}\,g_{\alpha ,\xi }\left({\frac {x-b}{a}}\right)\quad a\in \mathbb {R} ^{+}\quad b\in \mathbb {R} }

Parametr a {\displaystyle a} je úměrný roztažení (dilatace) vlnky, b {\displaystyle b} je její posun.

Ve dvourozměrném případě udává korelace mezi obrazem a dvourozměrnou Gaborovou funkcí energii koncentrovanou okolo dané pozice a frekvence v určitém směru. Dvourozměrná konvoluce s kruhovou (nikoli eliptickou) Gaborovou funkcí (resp. vlnkou) je separabilní na řadu jednorozměrných konvolucí.

g α , ξ ( x ) = g α , ξ 0 ( x 0 ) g α , ξ 1 ( x 1 ) ξ = ( ξ 0 , ξ 1 ) x = ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle g_{\alpha ,{\boldsymbol {\xi }}}({\boldsymbol {x}})=g_{\alpha ,\xi _{0}}(x_{0})\,g_{\alpha ,\xi _{1}}(x_{1})\quad {\boldsymbol {\xi }}=(\xi _{0},\xi _{1})\quad {\boldsymbol {x}}=(x_{0},x_{1})\,}

Parametr ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} udává v polárních souřadnicích frekvenci a její směr.

Související články