V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.
Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.
Definice a značení
Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic
a
je definován výrazem:
![{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014ed592975a5f39138578bf72a6c713eb35ca68)
Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze
. Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.
Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic
a
je dán výrazem:
![{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overline {b_{ij}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22eeb66d3aaada7a1ac777daa6e2000cbd65e030)
Pruh značí komplexně sdružené číslo.
Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili
![{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{ij}}}b_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712b7857f805b2553c49173b968286d526fe4491)
ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.
Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic
a
někdy zapisuje
.
Vztak k Hadamardovu součinu
Jsou-li
a
reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.
Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené "
"), pak pro
a
platí ![{\displaystyle (\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}=(a_{11},a_{12},\ldots ,a_{21},a_{22},\ldots ,a_{nm}){\begin{pmatrix}{\overline {b_{11}}}\\{\overline {b_{12}}}\\\ \vdots \\{\overline {b_{21}}}\\{\overline {b_{22}}}\\\vdots \\{\overline {b_{nm}}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab88b6db8aa3078d4051d5aed55bc3802b4b6c3)
Odtud plyne přímo
.
Frobeniova norma
Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedc240adae9b96300eed4c210f2cb2f2a9c9e98)
Ukázky
Reálné matice
Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu
a ![{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b8ab140b46e2304c84fdcdbce03bb269c40721)
je roven
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b03cbee002ca707b501f2cb3ab1f536c26a32c2)
Komplexní matice
Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu
a ![{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-2&3\mathrm {i} \\4-3\mathrm {i} &6\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8379ed9bf99b1186892771fd89b6b809d9fa9920)
platí
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(1+\mathrm {i} )\cdot (-2)+(-2\mathrm {i} )\cdot (-3\mathrm {i} )+3\cdot (4+3\mathrm {i} )+(-5)\cdot 6\\&=-26+7\mathrm {i} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f073e46381a4a406771253e7ba17bd26832865d)
zatímco
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1-\mathrm {i} )+3\mathrm {i} \cdot 2\mathrm {i} +(4-3\mathrm {i} )\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26-7\mathrm {i} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb988064f3a1d0c3f7e54372efc0447385e07cf)
Frobeniův skalární součin matice
se sebou samou a součin
se sebou samou jsou
a
.
Vlastnosti
Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:
a ![{\displaystyle \langle c{\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=c\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d4264da79f37b3af793dbfa1961da0b684230a)
a také semilineární v druhém argumentu, tedy.
a
.
Dále je hermitovská forma, neboli
,
a také pozitivně definitní:
a
.
Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty
.
Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na
se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.
Reprezentace pomocí stopy
Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice
,
kde
je matice transponovaná k
. Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:
,
kde
je hermitovská transpozice matice
.
Přesun mezi argumenty
Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny
a
:
.
Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny
a
:
.
Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.
Invariance
Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic
.
Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic
platí obdobně následující.
.
Vlastnosti Frobeniovy normy
Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
.
Z nerovnosti vyplývá odhad
.
V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.
Odhad přes singulární hodnoty
Jsou-li
singulární hodnoty
a
singulární hodnoty
s
, pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad
,
Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.[1]
Odkazy
Reference
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Frobenius-Skalarproduct na německé Wikipedii a Frobenius inner product na anglické Wikipedii.
- ↑ Horn, Johnson. [s.l.]: [s.n.] S. 186.
Literatura
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
Související články
Portály: Matematika