Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence
na nosné množině algebry
, nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence
.
Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.
Definice
Nechť je
algebra. Ekvivalence
na
se nazývá kongruence algebry pokud:
- Pro každou operaci
a
platí ![{\displaystyle F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})\sim F_{A}(b_{1},...,b_{ar(F_{A})})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee13b18417c164d9d1a5e306db2fcb5db6242783)
Operace faktoralgebry
pak definujeme na blocích ekvivalence takto:
- Pro každé
a
je ![{\displaystyle G_{A}([a_{1}],...,[a_{ar(F_{A})}])\sim [F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1929e4a7a9a9bbb749932197562f1f6585077eb)
Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.
Vlastnosti
- Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra.
- Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry.
- Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi:
![{\displaystyle id=\{(a,a):a\in A\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5cfd69bb2f355bcb3937386cf5caf2754f9418)
![{\displaystyle A\times A=\{(a,b):a\in A\land b\in A\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797d0eb46abd820d516ce7528e5cdd038805a796)
- Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.
Příklady
Uvažujme relaci
v grupě celých čísel
. Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:
- pro operaci sčítání
:
platí ![{\displaystyle a_{1}+a_{2}\sim b_{1}+b_{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c94c081fe72b7d0884b190256dfff7483a27914)
- pro operaci inverze
:
platí ![{\displaystyle -a\sim -b\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acd9063b6c29fd8a3b2cf8a20a557aa704192d0)
- konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek
(je splněno vždy).
Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti
je buď sudé, nebo liché a stejně tak
.
Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako
, neboť
je reprezentantem sudých čísel a
je reprezentantem čísel lichých.
Mějme grupu permutací na
prvcích
a relaci ekvivalence
. Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko
a nulovým prvkem, je identita.)
Věta o izomorfismu
Je-li
homomorfismus algeber, pak platí
.
Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry
podle jádra homomorfismu
je isomorfní s obrazem homomorfismu
.
Myšlenka důkazu:
- Je li
homomorfismus
pak jádro zobrazení
je kongruence algebry
. - Je li
homomorfismus
a
kongruence na
taková, že
, pak je zobrazení
je homomorfismus. - Pak
je prostý a na a je tedy izomorfismem.
Každá kongruence na algebře
je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z
, tedy
.
Naopak každé jádro homomorfismu
je kongruence
.
Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy
pro
.
A naopak projekce
je homomorfismem pro kongruenci na algebře
.
Příklad
V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek
a lichá čísla na prvek
, příslušné operace by byly zadefinovány takto:
- Operace
![{\displaystyle (+)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2755f7c3f774288fc3a15425c1e64717f4ebe71d)
- Operace
![{\displaystyle (-)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9b208871d4a88717da44c892cd3b6f19ed3bad)
-0 = 0, -1 = 1
- Operace
![{\displaystyle 0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fcd4157907e63b2975f620e5259bebe0636662)
Konstanta 0 se zobrazí na 0.
Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.
Literatura
- STANOVSKÝ, David. Praha: matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7.
Související články
- Kongruence
- Faktorgrupa
- Faktorokruh
- Varieta algeber
Portály: Matematika