Bornova řada

Bornovou řadou se rozumí rozvoj různých rozptylových veličin v kvantové teorii rozptylu do řady v mocninách interakčního potenciálu ${\displaystyle V}$ (přesněji v mocninách ${\displaystyle G_{0}V,}$ kde ${\displaystyle G_{0}}$ je Greenův operátor pro volnou částici). Omezením se na členy do prvního řádu dostaneme Bornovu aproximaci. Tato řada se dá chápat jako mocninná řada ve vazbové konstantě, kterou zavedeme substitucí ${\displaystyle V\to \lambda V}$. Rychlost a poloměr konvergence Bornovy řady jsou dány vlastními čísly operátoru ${\displaystyle G_{0}V}$. Obecně lze říci, že první členy Bornovy řady dobře aproximují příslušnou veličinu pro "slabý" potenciál ${\displaystyle V}$ a pro velkou srážkovou energii.

Bornovu řadu pro rozptylové stavy můžeme zapsat následovně

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{2}|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots }$

Lze ji odvodit iterováním Lippmanovy-Schwingerovy rovnice

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\psi \rangle .}$

Greenův operátor ${\displaystyle G_{0}}$ volné částice, který se zde vyskytuje může být retardovaný/advanceovaný nebo ve smyslu hlavní hodnoty, pokud požadujeme retardované ${\displaystyle |\psi ^{(+)}\rangle }$, advanceované ${\displaystyle |\psi ^{(-)}\rangle }$ nebo rozptylové řešení ve smyslu stojaté vlny ${\displaystyle |\psi ^{(P)}\rangle }$. První iteraci dostaneme nahrazením rozptylového řešení ${\displaystyle |\psi \rangle }$ vlnovou funkcí volné částice ${\displaystyle |\phi \rangle }$ na pravé straně Lippmannovy-Schwingerovy rovnice a dostaneme tak první Bornovu aproximaci. Pro druhou iteraci dosadíme na pravou stranu první Bornovu aproximaci. Výsledek se nazývá druhá Bornova aproximace. Obecně pro obdržení n-té Bornovy aproximaci vezmeme n členů řady. Bornovu řadu můžeme formálně vysčítat jako geometrickou řadu s kvocientem daným operátorem ${\displaystyle G_{0}V}$. Tak dostaneme formální řešení Lippmannovy-Schwingerovy rovnice ve tvaru

${\displaystyle |\psi \rangle =[I-G_{0}(E)V]^{-1}|\phi \rangle =[V-VG_{0}(E)V]^{-1}V|\phi \rangle .}$

Bornovu řadu můžeme napsat také pro další rozptylové veličiny jako je T-matice, která je úzce spojená s amplitudou rozptylu. Iterováním Lippmannovy-Schwingerovy rovnice pro T-matici dostaneme

${\displaystyle T(E)=V+VG_{0}(E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\dots }$

V případě T-matice je za ${\displaystyle G_{0}}$ potřeba dosadit retardováný Greenův operátor ${\displaystyle G_{0}^{(+)}(E)}$. Greenův operátor ve smyslu hlavní hodnoty pak vede na K-matici.

Lippmannova-Schwingerova rovnice pro Greenův operátor se nazývá rezolventní rovnice (rezolventní identita)

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG(E).}$

Řešením této rovnice dostaneme Bornovu řadu pro plný Greenův operátor ${\displaystyle G(E)=(E-H+i\epsilon )^{-1}}$

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{2}G_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{3}G_{0}(E)+\dots }$

• Jiří Formánek: Úvod do kvantové teorie I.,II., Academia, (2004). ISBN 80-200-1176-5

• Lippmannova-Schwingerova rovnice
• Kvantová teorie rozptylu
• T-matice
• Greenův operátor