Transformació unitària

En matemàtiques, una transformació unitària és una transformació que conserva el producte interior: el producte interior de dos vectors abans de la transformació és igual al seu producte interior després de la transformació.^[1]

Més precisament, una transformació unitària és un isomorfisme entre dos espais de productes interiors (com els espais de Hilbert). En altres paraules, una transformació unitària és una funció bijectiva: ^[2][3]$${\displaystyle U:H\to H_{2}\,}$$entre dos espais interiors del producte, ${\displaystyle H}$ i ${\displaystyle H_{2},}$ de tal manera que$${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H}\quad {\text{ per totes }}x,y\in H.}$$Una transformació unitària és una isometria, com es pot veure amb la configuració ${\displaystyle x=y}$ en aquesta fórmula.

En el cas quan ${\displaystyle H_{1}}$ i ${\displaystyle H_{2}}$ són el mateix espai, una transformació unitària és un automorfisme d'aquest espai de Hilbert, i llavors també s'anomena operador unitari.

Una noció molt relacionada és la de transformació antiunitària, que és una funció bijectiva.^[4]