Teorema de Siegel–Walfisz

En teoria analítica de nombres, el teorema de Siegel–Walfisz va ser derivat per Arnold Walfisz com a aplicació del teorema de Carl Ludwig Siegel en nombres primers en una progressió aritmètica.^[1]

Es defineix

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n),}$

on ${\displaystyle \Lambda }$ denota la funció de von Mangoldt i φ és la funció φ d'Euler.

El teorema expressa que, donat un nombre real qualsevol N, existeix una constant positiva C_N que depèn únicament de N tal que

${\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

sempre que (a, q) = 1 i

${\displaystyle q\leq (\log x)^{N}.}$

La constant C_N no és efectiva computacionalment perquè el teorema Siegel és inefectiu.

Del teorema es pot deduir la següent forma del teorema dels nombres primers per a progressions aritmètiques: si, per (a,q)=1, mitjançant ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ denotem el nombre de primers menor o iguals que x que són congruents amb a mod q, llavors

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

on N, a, q, C_N i φ són definits com en el teorema, i Li denota la integral logarítmica desplaçada.