Quadrat vèdic

En les matemàtiques índies, un quadrat vèdic és una variació en una taula de multiplicar típica de 9 × 9 on l'entrada a cada cel·la és l'arrel digital del producte dels encapçalaments de columna i fila, és a dir, el residu quan el producte dels encapçalaments de fila i columna és dividit per 9 (amb la resta 0 representada per 9). Es poden observar nombrosos patrons i simetries geomètriques en un quadrat vèdic, alguns dels quals es poden trobar en l'art tradicional islàmic.

${\displaystyle \circ }$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

El quadrat vèdic es pot veure com la taula de multiplicar del monoide ${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$ on ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$ és el conjunt d'enters positius repartits per les classes de residus mòdul 9. (l'operador ${\displaystyle \circ }$ fa referència a la «multiplicació» abstracta entre els elements d'aquest monoide).

Si ${\displaystyle a,b}$ són elements de ${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$, on ${\displaystyle a\circ b}$ són definits per ${\displaystyle (a\times b)\mod {9}}$, on l'element 9 representa el residu 0 en lloc de l'elecció tradicional de 0.

Això no forma un grup perquè no tots els elements que no són zero tenen un element invers corresponent; per exemple ${\displaystyle 6\circ 3=9}$ però no n'hi ha ${\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}}$ de tal manera que ${\displaystyle 9\circ a=6.}$.

El subconjunt ${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$ forma un grup cíclic amb 2 com a opció de generador: aquest és el grup d'unitats multiplicatives de l'anell ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$. Cada columna i fila inclou tots els sis nombres, de manera que aquest subconjunt forma un quadrat llatí.

${\displaystyle \circ }$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Un cub vèdic es defineix com la disposició de cada arrel digital en una taula de multiplicar tridimensional.^[1]

Es poden calcular quadrats vèdics amb una base superior, per analitzar els patrons simètrics que es plantegen, utilitzant el càlcul anterior, ${\displaystyle (a\times b)\mod {({\textrm {base}}-1)}}$. Les imatges d'aquesta secció (base 100 i base 1000) tenen un codi de color de manera que l'arrel digital d'1 és fosca i l'arrel digital de (base-1) és clara.

• Deskins, W.E.. Abstract Algebra (en anglès). Nova York: Dover, 1996, p. 162–167. ISBN 0-486-68888-7. 
• Chia-Yu, Lin «Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space» (en anglès). Recreational Mathematics Magazine, 2016, pàg. 9–31. ISSN: 2182-1976.
• Ghannam, Talal. The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root (en anglès). CreateSpace Publications, 2012, p. 68–73. ISBN 978-1-4776-7841-1. 
• Pritchard, Chris. The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching (en anglès). Great Britain: Cambridge University Press, 2003, p. 119–122. ISBN 0-521-53162-4. 
• Teknomo, Kadi «Digital Root: Vedic Square» (en anglès). Revoledu, 2005.

• Aritmètica modular