En mecànica quàntica, un potencial central és un potencial, en el qual l'energia potencial
de cada partícula depèn només de la distància
entre la partícula i el centre del potencial.
Cas general
Considerem una partícula de massa
en un potencial central. La funció d'ona de la partícula ha de satisfer l'equació de Schrödinger independent del temps:
Com que un potencial central té simetria esfèrica, l'equació de Schrödinger es pot expressar en coordenades esfèriques, amb l'origen de coordenades al centre del potencial:
Si suposem que les solucions de l'equació són separables,
s'obté, substituint i multiplicant per
:
El membre de l'esquerra (part radial) depèn només de
i el membre de la dreta (part angular) depèn només de
i
. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui
. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:
- Equació radial:
![{\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}\,{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E-V\right)=l(l+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04567f87c2b0fbce54c6b46b92c945c5ba9a0ca5)
- Equació angular:
![{\displaystyle -{\frac {1}{Y\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)-{\frac {1}{Y\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=l(l+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb425758e341ef65a0bc4db84c8333309fbc1eaf)
Separació de l'equació angular
L'equació angular es pot multiplicar per
:
Si suposem que les solucions de l'equació són separables,
s'obté, substituint i dividint per
:
El membre de l'esquerra (part polar) depèn només de
i el membre de la dreta (part azimutal) depèn només de
. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui
. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:
- Equació polar:
![{\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+l(l+1)\,\sin ^{2}\theta =m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2964052a75a2786e220705306f2c80f1a435c29d)
- Equació azimutal:
![{\displaystyle -{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d8d2a1482be592d6fa0fefbafd3c065a00106c)
Equació azimutal
La solució general de l'equació azimutal és:
on
i
són constants arbitràries.
Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i periòdica en
, la funció
també ha de ser univaluada i periòdica en
, és a dir,
. En aquest cas, el nombre
, que s'anomena nombre quàntic magnètic, ha de ser un nombre enter:
Les solucions independents
coincideixen amb les solucions independents
per a
negatius. Per tant, podem prendre
sense pèrdua de generalitat:
Normalitzant
, s'obté:
Per tant, les funcions azimutals normalitzades s'expressen com:
Equació polar
L'equació polar es pot multiplicar per
:
Fent el canvi de variables
:
Fent la substitució
:
Finalment, aplicant la regla de la derivada d'un producte, s'obté l'expressió següent:
que és una equació associada de Legendre.
Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i contínuament diferenciable, la funció
també ha de ser univaluada i contínuament diferenciable. En aquest cas, el nombre
, que s'anomena nombre quàntic azimutal, ha de ser un nombre enter. A més, l'equació associada de Legendre té solucions no nul·les quan
, és a dir, quan
La solució general de l'equació associada de Legendre per a
és:
on
i
són constants arbitràries, i
i
són les funcions associades de Legendre de primera i segona espècie, respectivament.
Bibliografia
- L. D. Landau i E. M. Lifshitz. Quantum mechanics. Non-relativistic theory. 2a ed. Oxford: Pergamon, 1965.
- E. Merzbacher. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: Wiley, 1998.
- L. I. Schiff. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1968.
- L. Pauling i E. B. Wilson. Introduction to quantum mechanics. Nova York: McGraw-Hill, 1935.