Matriu de correlació creuada

La matriu de correlació creuada de dos vectors aleatoris és una matriu que conté com a elements les correlacions creuades de tots els parells d'elements dels vectors aleatoris. La matriu de correlació creuada s'utilitza en diversos algorismes de processament de senyals digitals.^[1]

Per a dos vectors aleatoris ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ i ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$, cadascun dels quals conté elements aleatoris el valor esperat i la variància dels quals existeixen, la matriu de correlació creuada de ${\displaystyle \mathbf {X} }$ i ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ es defineix per ^{[2] :p.337}

i té unes dimensions ${\displaystyle m\times n}$. Escrit per components:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}$

Els vectors aleatoris ${\displaystyle \mathbf {X} }$ i ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ no cal que tinguin la mateixa dimensió, i també poden ser un valor escalar.^[3]

Exemple:

Per exemple, si ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ i ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$ són vectors aleatoris, llavors ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ és una matriu ${\displaystyle 3\times 2}$ on ${\displaystyle (i,j)}$ representa ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$.