En matemàtiques, la funció zeta de Hurwitz, anomenada així per Adolf Hurwitz, és una de les moltes funcions zeta. Es defineix formalment per a arguments complexos s amb Re(s) > 1 i q amb Re(q) > 0 per a
Aquesta sèrie és absolutament convergent per als valors donats de s i q i es pot estendre a una funció meromorfa definida per a tot s≠1. La funció zeta de Riemann és ζ(s,1).
Continuació analítica
Si la funció zeta de Hurwitz es pot definir per l'equació
on el contorn és un llaç al voltant de l'eix real negatiu. Això proporciona una continuació analítica de .
Funció zeta de Hurwitz corresponent a q = 1/3. Es genera com a graf Matplotlib mitjançant una versió del mètode de coloració de dominis.[1]
Funció zeta de Hurwitz corresponent a q = 24/25
La funció zeta de Hurwitz es pot ampliar mitjançant la continuació analítica a una funció meromorfa definida per a tots els complexos amb . A té un pol simple amb residu . El terme constant ve donat per
Funció zeta de Hurwitz com a funció q amb s = 3+4i.
Una representació convergent de la sèrie de Newton definida per a q > 0 (real) i qualsevol complex s ≠ 1 va ser donada per Helmut Hasse el 1930:[2]
Aquesta sèrie convergeix uniformement en subconjunts compactes del pla s a tota una funció. Es pot entendre que la suma interior és l'enèsima diferència posterior de ; això és,
Altres exemples que convergeixen a nivell global inclouen aquests exemples
on Hn són els nombres Harmònics, són els nombres de Stirling de primera espècie, és el símbol de Pochhammer, Gn són els coeficients de Gregory, G(k) n són els coeficients de Gregori d'ordre superior i Cn són els nombres de Cauchy de segona espècie (C1 = 1/2, C₂ = 5/12, C₃ = 3/8…).[3]
es sosté per a i z complex, però no un nombre enter. Per a un nombre enter z=n, això simplifica
on ζ és la funció zeta de Riemann. Tingueu en compte que aquesta última forma és l'equació funcional de la funció zeta de Riemann, donada originalment per Riemann. La distinció basada en que z sigui un nombre enter o no té en compte que la funció theta de Jacobi convergeix a la funció delta periòdica, o pinta de Dirac, en z com a .
Relació amb les funcións L de Dirichlet
Per arguments racionals, la funció zeta de Hurwitz es pot expressar com una combinació lineal de funcions L de Dirichlet i viceversa: la funció zeta de Hurwitz coincideix amb la funció zeta de Riemann ζ(s) quan q = 1, quan q = 1/2és igual a (2s−1)ζ(s),[6] i si q = n/k amb k > 2, (n,k) > 1 i 0 < n < k, llavors[7]
la suma que corre sobre tots els caràcters de Dirichletmod k. En sentit contrari, tenim la combinació lineal[6]
Si q=1/2, es redueix a la funció zeta de Riemann multiplicada per una funció simple d'argument complex s(vegeu més amunt), donant lloc en cada cas al difícil estudi dels zeros de la funció zeta de Riemann. En particular, no hi haurà zeros amb una part real superior o igual a 1.
Tanmateix, si 0<q<1 i q≠1/20, hi ha zeros de la funció zeta de Hurwitz a la franja 1<Re(s)<1+ε per a qualsevol nombre real positiu ε. Això ho va demostrar Harold Davenport i Hans Heilbronn per a qirracional, racional o transcendent,[12] i per Cassels per q irracional algebraic.[6][13]
Valors relacionals
Es produeix la funció zeta de Hurwitz en diverses identitats sorprenents a valors racionals.[14] En particular, valors en termes dels polinomis d'Euler:
Per a valors enters de ν, aquests poden ser expressats en termes dels polinomis d'Euler. Aquestes relacions es poden derivar mitjançant l'equació funcional juntament amb la fórmula de Hurwitz, que es dona més amunt.
↑«Visualizing complex-valued functions with Matplotlib and Mayavi Domain coloring method» (en anglès). Jupyter.
↑Hasse, Helmut «Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe» (en castellà). Mathematische Zeitschrift, 32(1), 1930, pàg. 458–464. DOI: 10.1007/BF01194645.
↑Blagouchine, Iaroslav V. «Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions» (en anglès). INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 18A, 2018, pàg. 1–45. arXiv: 1606.02044. Bibcode: 2016arXiv160602044B.
↑Blagouchine, I.V. «A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations» (en anglés). Journal of Number Theory. Elsevier, 148, 2014, pàg. 537–592. arXiv: 1401.3724. DOI: 10.1016/j.jnt.2014.08.009.
↑Vepstas, Linas «An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions» (en anglès). Numerical Algorithms, 47(3), 2007, pàg. 211–252. arXiv: math/0702243. Bibcode: 2008NuAlg..47..211V. DOI: 10.1007/s11075-007-9153-8.
↑Lowry, David. «Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa» (en anglès). mixedmath.
↑Kubert, Serge; Lang. Modular Units (en anglès). 244. Springer-Verlag, 1981, p. 13 (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). ISBN 0-387-90517-0.
↑Espinosa, Oliver; Moll, Victor H. «A Generalized Polygamma Function» (en anglès). http://arxiv.org/, 2003.
↑[enllaç sense format] http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
↑[enllaç sense format] http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/
↑Davenport, H.; Heilbronn, H. «On the zeros of certain Dirichlet series» (en anglès). Journal of the London Mathematical Society, 11(3), 1936, pàg. 181-185. DOI: 10.1112/jlms/s1-11.3.181.
↑Cassels, J. W. S. «Footnote to a note of Davenport and Heilbronn» (en anglès). Journal of the London Mathematical Society, 36(1), 1961, pàg. 177–184. DOI: 10.1112/jlms/s1-36.1.177.
↑Given by Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek «Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments» (en anglès). Mathematics of Computation, 68(228), 1999, pàg. 1623–1630. Bibcode: 1999MaCom..68.1623C. DOI: 10.1090/S0025-5718-99-01091-1.
↑Schwinger, J. «On gauge invariance and vacuum polarization» (en anglès). Physical Review, 82(5), 1951, pàg. 664–679. Bibcode: 1951PhRv...82..664S. DOI: 10.1103/PhysRev.82.664.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of Mathematical Functions (en anglès). Nova York: Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4. «Vegeu Paragraph 6.4.10 per a la relació amb la funció poligamma.»
Davenport, Harold. Multiplicative number theory (en castellà). 1. Chicago: Markham, 1967 (Lectures in advanced mathematics).
Mező, István; Dil, Ayhan «Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function» (en anglès). Journal of Number Theory, 130(2), 2010, pàg. 360–369. DOI: 10.1016/j.jnt.2009.08.005.
Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. «Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments» (en anglès). Journal of Computational and Applied Mathematics, 100(2), 1998, pàg. 201–206. Arxivat de l'original el 2010-03-16. DOI: 10.1016/S0377-0427(98)00193-9 [Consulta: 18 març 2020]. Arxivat 2010-03-16 a Wayback Machine.
Vepstas, Linas. «The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta» (en anglès).