Funció q-theta

En matemàtiques, la funció q-theta és un tipus de q-sèries. La seva representació és [1]

θ ( z ; q ) = ∏ n = 0 ∞ ( 1 − q n z ) ( 1 − q n + 1 / z ) {\displaystyle \theta (z;q)=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)\left(1-q^{n+1}/z\right)}

on es pren 0 ≤ |q| < 1. Això obeeix les identitats

θ ( z ; q ) = θ ( q z ; q ) = − z θ ( 1 z ; q ) . {\displaystyle \theta (z;q)=\theta \left({\frac {q}{z}};q\right)=-z\theta \left({\frac {1}{z}};q\right).}

També es pot expressar com:

θ ( z ; q ) = ( z ; q ) ∞ ( q / z ; q ) ∞ {\displaystyle \theta (z;q)=(z;q)_{\infty }(q/z;q)_{\infty }}

on ( ⋅ ⋅ ) ∞ {\displaystyle (\cdot \cdot )_{\infty }} és el símbol q-Pochhammer infinit.

Referències

  1. ↑ The combinatorics of the leading root of the partial theta function (anglès)

Vegeu també