En matemàtiques, la funció gamma multivariada Γp és una generalització de la funció gamma. És útil en estadística multivariant, que apareixen en la funció de densitat de probabilitat de les distribucions de Wishart i de Wishart inversa, i la distribució matriu variada beta.
Té dues definicions equivalents. Una es dona com la següent integral sobre les matrius definides positives reals
:
on S>0 significa que S és una matriu definida positiva.
(vegeu que
es redueix a la funció gamma ordinària).
L'altre, més útil per obtenir un resultat numèric és:
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc9bcc58164ece0de7aef7b0ba2b1a0925a1a04)
A partir d'això, tenim les relacions recursives:
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma [a+(1-p)/2].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842b762835010dccfea7a4e848cefcecb30f3e8e)
Així
![{\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e357ec080e62e5edd491f28ae54bd8d80cb0f82f)
![{\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5fd619360ecdb2169b46f16f66221513e8d4da)
![{\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2143c078c0f097090f6d99fe1880a9c8121aa61e)
etc...
Derivades
Podem definir la funció digamma multivariada com
![{\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eddc4b127fa06c312ae75f989a89b6b5de10eb34)
i la funció poligamma general com a
![{\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bf472945d78bc218b4a41b547f8d79fd718981)
Passos de càlcul
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a494f794a92067af72b2af98e467dbc8d9d5b96)
- s'obté
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa54823ac1e5ecb10ffa7529e3b654a7bb6b891e)
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a+(1-i)/2)}{\partial a}}=\psi (a+(i-1)/2)\Gamma (a+(i-1)/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c987998cc105a021b36650ab7af97b855543e3)
- s'obté
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2)\\[4pt]&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53be1f08a21a67f4a4d96fa959255f792b5071d1)
Bibliografia
- James, A. «Distributions of Matrix Variates and Latent Roots Derived from Normal Samples». Annals of Mathematical Statistics, 35, 2, 1964, pàg. 475–501. DOI: 10.1214/aoms/1177703550.
- Gupta, A. K; Nagar, D. K. Matrix variate distributions. Chapman and Hall, 1999.