Funció de Hann

La funció de Hann (esquerra), i la seva freqüència de resposta (dreta)

La funció de Hann, que porta el nom del meteoròleg austríac Julius von Hann, és una funció finestra discreta donada per

w ( n ) = 1 2 ( 1 − cos ⁡ ( 2 π n N − 1 ) ) {\displaystyle w(n)={\frac {1}{2}}\;\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)\right)}

o

w ( n ) = sin 2 ⁡ ( π n N − 1 ) {\displaystyle w(n)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N-1}}\right)}

o, en termes de la funció haversine,

w ( n ) = hav ⁡ ( 2 π n N − 1 ) . {\displaystyle w(n)=\operatorname {hav} \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right).}

Espectre

La finestra de Hann és una combinació lineal de finestres rectangulars modulades w r = 1 [ 0 , N − 1 ] {\displaystyle w_{r}=\mathbf {1} _{[0,N-1]}} . De la fórmula d'Euler

w ( n ) = 1 2 w r ( n ) − 1 4 e i 2 π n N − 1 w r ( n ) − 1 4 e − i 2 π n N − 1 w r ( n ) {\displaystyle w(n)={\frac {1}{2}}\,w_{r}(n)-{\frac {1}{4}}e^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {n}{N-1}}}w_{r}(n)-{\frac {1}{4}}e^{-\mathrm {i} 2\pi {\frac {n}{N-1}}}w_{r}(n)}

A causa de les propietats bàsiques de la transformada de Fourier, el seu espectre és

w ^ ( ω ) = 1 2 w ^ r ( ω ) − 1 4 w ^ r ( ω + 2 π N − 1 ) − 1 4 w ^ r ( ω − 2 π N − 1 ) {\displaystyle {\hat {w}}(\omega )={\frac {1}{2}}{\hat {w}}_{r}(\omega )-{\frac {1}{4}}{\hat {w}}_{r}\left(\omega +{\frac {2\pi }{N-1}}\right)-{\frac {1}{4}}{\hat {w}}_{r}\left(\omega -{\frac {2\pi }{N-1}}\right)}

amb l'espectre de la finestra rectangular

w ^ r ( ω ) = e − i ω N − 1 2 sin ⁡ ( N ω / 2 ) sin ⁡ ( ω / 2 ) {\displaystyle {\hat {w}}_{r}(\omega )=e^{-\mathrm {i} \omega {\frac {N-1}{2}}}{\frac {\sin(N\omega /2)}{\sin(\omega /2)}}}

Si les finestres es desplacen al voltant de 0, el factor de modulació s'esvaeix i els signes que hi ha al davant de 1/4 termes canvien a +.

Nom

La funció de Hann és el nom original, en honor de Julius von Hann. Tanmateix, a vegades també s'anomena erròniament «funció de Hanning», derivada del document en què va ser anomenada, on el terme «penjar un senyal» (hanning a signal) va significar aplicar la finestra de Hann. La confusió va sorgir de la funció de Hamming similar, que porta el nom de Richard Hamming.

Ús

La funció de Hann s'utilitza normalment com a funció finestra en el processament de senyals digitals per seleccionar un subconjunt d'una sèrie de mostres per tal de realitzar una transformada de Fourier o altres càlculs.

Per exemple (utilitzant la versió contínua per il·lustrar)

S ( τ ) = ∫ w ( t + τ ) f ( t ) d t {\displaystyle S(\tau )=\int w(t+\tau )f(t)\,dt}

L'avantatge de la finestra de Hann és un aliàsing molt baix i la compensació és una disminució de la resolució (ampliació del lòbul principal).

Referències

  • Harris, F. J. «On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform». Proceedings of the IEEE, 66, 1978, pàg. 51–83. DOI: 10.1109/PROC.1978.10837.
  • Blackman, R. B.; Tukey, J. W. «The Measurement of Power Spectra from the Point of View of Communications Engineering - Part I». Bell System Technical Journal, 37, 1958, pàg. 185–282. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x.

Enllaços externs

  • Funció de Hann a MathWorld