Distribució
no central![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Chi-Squared-%28nonCentral%29-pdf.png/325px-Chi-Squared-%28nonCentral%29-pdf.png) |
Funció de distribució de probabilitat ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Chi-Squared-%28nonCentral%29-cdf.png/325px-Chi-Squared-%28nonCentral%29-cdf.png) |
Tipus | Densitat |
---|
Paràmetres | graus de llibertat paràmetre de no centralitat |
---|
Suport | ![{\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28812fcc3d4a5927d51000945e354d231e6fb4c0) |
---|
fdp | ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887b9769c16ac1cfc87b0b607c248e404eabe634) |
---|
FD | on és la Funció Q de Marcum |
---|
Esperança matemàtica | ![{\displaystyle k+\lambda \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c8a17d7572f385bd19533abb515ed574d2f4ba) |
---|
Variància | ![{\displaystyle 2(k+2\lambda )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c180ab8e3844751e164a213668ca53453d37be) |
---|
Coeficient de simetria | ![{\displaystyle {\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce1c555d1009ad21ff3b8c1f2e5aa2460a0b5de) |
---|
Curtosi | ![{\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c052481f54f22a748fa797e5ede27895590b5cac) |
---|
FGM | ![{\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}},\ 2t<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18579ef2d2bd2ab9cd154083e0cee1389c38a58a) |
---|
FC | ![{\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28704674f8491c2baac46741cf5ab70dd6d4b61e) |
---|
En Teoria de la Probabilitat i Estadística, la distribució khi quadrat no central (o distribució
no central) és una generalització de la distribució khi quadrat incorporant un paràmetre que s'anomena de no centrament. Sovint sorgeix en l'anàlisi de potència de contrast d'hipòtesis estadístiques en què la distribució nul·la és (potser asimtòticament) una distribució khi quadrat; exemples importants d'aquestes proves són les prova de raó de versemblança.[1]
Definicions
Com el el cas de la distribució
ordinària començarem pel cas que el nombre de graus de llibertat sigui un nombre enter positiu i després, mitjançant la funció de densitat ho estendrem a qualsevol nombre de graus de llibertat
.Siguin
variables aleatòries independents, distribuïdes normalment amb mitjanes
respectivament i totes amb variància 1:
. Aleshores es diu que la variable aleatòria
![{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3dd07e86de3feae510cab66292f03d7b345a56)
té una distribució khi-quadrat no central amb
graus de llibertat i paràmetre de no centralitat
[2] S'escriu
. Si
, aleshores
té una distribució
ordinària amb
graus de llibertat:
.
Equivalentment, es pot definir la distribució
com la distribució de la suma
on
són variables aleatòries independents, totes amb distribució normal estàndard
.
Nota: Algunes referències defineixen el paràmetre de no centralitat d'altres maneres, com la meitat de la suma
o la seva arrel quadrada.
Funció de densitat
La funció de densitat de probabilitat (pdf) ve donada per [3][4]
on
es distribueix com una
amb
graus de llibertat,
i
és l seva funció de densitat:
on
és la funció gamma d'Euler.
És a dir, la distribució
és una mixtura de distribucions
, amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre
.
Càlcul de la funció de densitat
El càlcul de la funció de densitat és laboriós i el separarem en 4 passos: Sigui
![{\displaystyle J\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d40cb3ca76020822c765fd2ff23f883f7a61d8)
.
1r. pas. Demostrarem la descomposició
on
,
,
i
són independents, i
vol dir igualtat en distribució o llei (vegeu la pàgina Variable aleatòria).
2n. pas. Calcularem una primera versió de la funció de densitat de
.
3r. pas. Reescriurem la funció de densitat que hem trobat al pas anterior i identificarem una mixtura de distribucions
amb diferents graus de llibertat i pesos de Poisson.
4t. pas. Ajuntant els passos 1 i 3 deduirem la densitat de
.
1r. pas. Escrivim
El nostre objectiu és veure que tenim
on
, i llavors definirem
Partim de les variables
independents, amb
. Considerem el vector aleatori normal multidimensional
on
vol dir la transposada de la matriu o vector
,
i
és la matriu identitat de dimensió
. Notem que
Considerem una matriu ortogonal
tal que la seva primera fila sigui
. Aquesta matriu pot construir-se partint del vector
, ampliant-ho a una base de
, ortonormalitzant la base pel procediment d'ortogonaització de Gramm-Schmidt i utilitzant aquests vectors com a files de la matriu. Sigui
Llavors, per l'ortogonalitat de la matriu
,
d'on s'obté l'expressió (1).
2n. pas. Càlcul d'una primera versió de la funció de densitat de
. La variable aleatòria
és la transformació d'una variable
mitjançant la funció
donada per
; però aquesta funció no és bijectiva i cal separ-la en dues parts bijectives:
definides ambdues per
Les inverses respectives són
Aleshores la funció de densitat de
és
3r. pas. Identificació de la distribució
de com una mixtura de distribucions
amb pesos donats per una distribució de Poisson.
Designarem per
la funció de densitat d'una distribució
. Notem que per una distribució
tenim
D'altra banda, el desenvolupament en sèrie de Taylor del cosinus hiperbòlic és
Aleshores,
Per tant,
En conseqüència,
és una mixtura de distribucions
amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre
.
"4t." pas. Càlcul de la funció de densitat de
. Utilitzarem les propietats de la funció generatriu de moments (també es podria fer de manera anàloga amb les funcions característiques). Designarem per
la funció generatriu d'una variable aleatòria
:
Escrivim
els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre
. Per les propietats de les mixtures de distribucions, la funció generatriu de moments de
és
Donada la independència entre
i
(vegeu el primer pas), tindrem que
i atès que
,
. Fent les operacions corresponents arribem a que
![{\displaystyle M_{J}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}M_{Y_{k+2j}}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c9295179c8de3a1227ac6472cf80b25b474966)
Per tant, identifiquem una mixtura de distribucions
![{\displaystyle \chi _{k+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e49c2ae370c613b4c1e51b22a4639b02f5a3f3)
amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre
![{\displaystyle \lambda /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f189d538c95274dd5297140e5ee78df90faf13e)
. Llavors, la funció de densitat de
![{\displaystyle J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053)
és
![{\displaystyle f_{J}(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,f_{Y_{k+2j}}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212f7f239c7ed627dfa6e46b0fdffd736c02fd0b)
Expressió alternativa de la funció de densitat
La funció de densitat també es pot escriure
on
és la funció de Bessel modificada de primer tipus,
Prova
Si desenvolupem
![{\displaystyle f_{Y_{k+2j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb89c4112ee323057154b84c542f595cde88dd93)
tenim que la funció de densitat té l'expressió
D'altra banda,
val
i només cal reagrupar els termes a
![{\displaystyle f_{J}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e29cbef72abda6cb48402970701bbccc2ff63e9)
Extensió a un nombre de graus de llibertat no enter
La funció (*) està ben definida i és una funció de densitat per a qualsevol
. Per tant, podem definir una variable
amb
com aquella que té per funció de densitat (*).[3] Naturalment, es perd la interpretació com al nombre de sumands independents.
Moments, funció generatriu de moments i funció característica
Els moments es poden calcular utilitzant les propietats de les mixtures de distribucions. Sigui
i
. Designem per
els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre
:
Aleshores, atès que una distribució khi-quadrat té moments de tots els ordres, tindrem que la distribució khi-quadrat no central també, i
Per exemple, per a
,
i llavors
De manera anàloga, es calcula
d'on
La funció generatriu de moments també es pot calcular de la mateixa forma: Designem per
la funció generatriu de moments d'una variable aleatòria
,
Si
,
Llavors, per a
,
Anàlogament, la funció característica dona
Aquesta propietat, que té interès per ella mateixa, és el fonament de la utilització de la distribució
en l'estudi de la potència d'un test sobre la mitjana d'una població normal multivariable, segon veurem en un exemple.
Propietat. Considerem un vector aleatori normal multivariable
amb
. Aleshores:[5]
.
, amb
.
Prova
1. Existeix una única matriu definida positiva
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1d948f290c87cdebbdb7fa6a16847e9c244f80)
tal que
[6] anomenada arrel quadrada de
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8532511177f5a2d2dc2b8c1ea37d483c70266911)
; designem per
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a67561c8f441faae25e5fdbf7e5ae99f801266)
la seva inversa.
[7] Per les propietats de les lleis normals multivariables,
Llavors,
- 2. Ara definim
Llavors,
amb
![{\displaystyle \lambda ={\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }}{\bigg )}'{\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }}{\bigg )}={\boldsymbol {\mu '\Sigma ^{-1}\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9acadb6af79997406894dd5ebfcf40233745f8f)
Exemple. Muirhead.[5] Considerem un contrast d'hipòtesis sobre la mitjana d'una població normal multivariable amb matriu de variàncies-covariàncies coneguda. Sigui
una mostra d'una distribució
. Llavors
Fixem
. Anem a fer el contrast
Com a estadístic de contrast utilitzarem
Fixem un nivell de significació del test
Atès que, per la primera part de la propietat anterior, sota
,
, rebutjarem
si
on
és el nombre tal que
Si
no és veritat,
Per tant, per la segona part de la propietat anterior,
Per tant, la potència del test és funció de
:
Ocurrència i aplicacions
Es poden obtenir intervals de tolerància de regressió normal a dues cares basant-se en la distribució khi quadrat no central. Això permet calcular un interval estadístic dins del qual, amb un cert nivell de confiança, es troba una proporció especificada d'una població mostrada.[8]
Referències
- ↑ Patnaik, P. B. Biometrika, 36, 1/2, 1949, pàg. 202–232. DOI: 10.2307/2332542. ISSN: 0006-3444.
- ↑ «Noncentral Chi-Squared Distribution» (en anglès). https://valelab4.ucsf.edu.+[Consulta: 5 juliol 2023].
- ↑ 3,0 3,1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995, p. 436. ISBN 978-0-471-58494-0.
- ↑ «Noncentral Chi-Square Distribution - MATLAB & Simulink» (en anglès). https://www.mathworks.com.+[Consulta: 5 juliol 2023].
- ↑ 5,0 5,1 Muirhead, Robb John. Aspects of multivariate statistical theory. Hoboken, N.J: Wiley-Interscience, 2005, p. 26-27. ISBN 978-0-471-76985-9.
- ↑ Seber, George Arthur Frederick. A matrix handbook for statisticians. Hoboken (N.J.): J. Wiley, 2008, p. 221. ISBN 978-0-471-74869-4.
- ↑ No hi ha ambigüitat en la notació ja que
. Vegeu la referència anterior Seber, 2008, pàgina 221, item 10.8 (f) - ↑ «Noncentral chi-square distribution» (en anglès). http://www.math.wm.edu.+[Consulta: 5 juliol 2023].
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|