Distribució de Marchenko-Pastur

Infotaula distribució de probabilitatDistribució de Marchenko-Pastur
Tipusdistribució de probabilitat i concepte matemàtic Modifica el valor a Wikidata

En la teoria matemàtica de matrius aleatòries, la distribució de Marchenko-Pastur, o llei de Marchenko-Pastur, descriu el comportament asimptòtic de valors singulars de grans matrius aleatòries rectangulars. El teorema rep el nom dels matemàtics soviètics Vladimir Marchenko i Leonid Pastur que van demostrar aquest resultat el 1967.[1]

Si X {\displaystyle X} denota a m × n {\displaystyle m\times n} matriu aleatòria les entrades de la qual són variables aleatòries independents distribuïdes de manera idèntica amb mitjana 0 i variància σ 2 < {\displaystyle \sigma ^{2}<\infty } , deixar

Y n = 1 n X X T {\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}}

i deixar λ 1 , λ 2 , , λ m {\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}} ser els valors propis de Y n {\displaystyle Y_{n}} (vistes com a variables aleatòries). Finalment, cal considerar la mesura aleatòria[2]

μ m ( A ) = 1 m # { λ j A } , A R . {\displaystyle \mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .}

comptant el nombre de valors propis del subconjunt A {\displaystyle A} inclòs en R {\displaystyle \mathbb {R} } .[3]

Funció de distribució acumulada

Utilitzant la mateixa notació, la funció de distribució acumulada és [4]

F λ ( x ) = { λ 1 λ 1 x [ 0 , λ ) + ( λ 1 2 λ + F ( x ) ) 1 x [ λ , λ + ) + 1 x [ λ + , ) , si  λ > 1 F ( x ) 1 x [ λ , λ + ) + 1 x [ λ + , ) , si  0 λ 1 , {\displaystyle F_{\lambda }(x)={\begin{cases}{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\mathbf {1} _{x\in [0,\lambda _{-})}+\left({\frac {\lambda -1}{2\lambda }}+F(x)\right)\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+})}+\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{+},\infty )},&{\text{si }}\lambda >1\\F(x)\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+})}+\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{+},\infty )},&{\text{si }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}}

Referències

  1. «Marchenko–Pastur Distribution: New in Wolfram Language 11» (en anglès). https://www.wolfram.com.+[Consulta: 20 juny 2023].
  2. «The necessary and sufficient conditions in the Marchenko-Pastur theorem» (en anglès). https://arxiv.org.+[Consulta: 20 juny 2023].
  3. «Lectures 6 – 7 : Marchenko-Pastur Law» (en anglès). https://people.math.wisc.edu.+[Consulta: 20 juny 2023].
  4. «Calculating the Moments of the Marchenko-Pastur Distribution» (en anglès). https://math.stackexchange.com.+[Consulta: 20 juny 2023].
  • Vegeu aquesta plantilla
Distribucions discretes
amb suport finit
Distribucions discretes
amb suport infinit
Distribucions contínues
suportades sobre un interval acotat
Distribucions contínues
suportades sobre un interval semi-infinit
Distribucions contínues
suportades en tota la recta real
Distribucions contínues
amb el suport de varis tipus
Barreja de distribució variable-contínua
Distribució conjunta
Discreta
Ewens
Multinomial
Multinomial de Dirichlet
Multinomial negativa
Contínua
Dirichlet
Dirichlet generalitzada
Estable multivariant
Gamma normal
Gamma normal inversa
Normal multivariable
t multivariable
Matriu de valor
Matriu gamma
Matriu gamma inversa
Matriu normal
Normal de Wishart
Normal de Wishart inversa
t matriu
Wishart
Wishart inversa
Direccionals
Univariada (circular)
Asimètrica de Laplace envoltada
Cauchy envoltada
Exponencial envoltada
Lévy envoltada
Normal envoltada
Circular uniforme
Univariada de von Mises
Bivariada (esfèrica)
Kent
Bivariada (toroidal)
Bivariada de von Mises
Multivariada
von Mises-Fisher
Bingham
Degenerada i singular
Degenerada
Delta de Dirac
Singular
Cantor
Famílies