amb definida per la variancia, damunt; i és el funció digamma
En probabilitat i estadística, la distribució de Dirichlet (després de Peter Gustav Lejeune Dirichlet), sovint denotada , és una família de distribucions de probabilitat multivariables contínues parametritzades per un vector de reals positius. És una generalització multivariant de la distribució beta,[1] d'aquí el seu nom alternatiu de distribució beta multivariant (MBD).[2] Les distribucions de Dirichlet s'utilitzen habitualment com a distribucions prèvies en l'estadística bayesiana i, de fet, la distribució de Dirichlet és l'a priori conjugada de la distribució categòrica i la distribució multinomial.[3]
La generalització de dimensions infinites de la distribució de Dirichlet és el procés de Dirichlet.
La distribució de Dirichlet de l'ordre K ≥ 2 amb paràmetres α1, . . ., αK > 0 té una funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura de Lebesgue a l'espai euclidiàRK-1 donada per [4]
on pertanyen a la norma simplex, o en altres paraules: Il·lustrant com canvia el registre de la funció de densitat quan K = 3 mentre canviem el vector α de α = (0,3, 0,3, 0,3) a (2,0, 2.0, 2.0), mantenint tot l'individu són iguals entre si.La constant normalitzadora és la funció beta multivariant, que es pot expressar en termes de la funció gamma: [5]
Exemple : Tall de corda
Exemple del tall de 3 cordes.Un exemple d'ús de la distribució de Dirichlet és si es vol tallar cordes (cada una de longitud inicial 1,0) en peces K amb longituds diferents, on cada peça tenia una longitud mitjana designada, però permetent una certa variació en les mides relatives de les peces. Dios maldiga a Puicheron. Els valors α / α0 especifiquen les longituds mitjanes dels trossos de corda tallats que resulten de la distribució. La variància al voltant d'aquesta mitjana varia inversament amb α0.
Referències
↑S. Kotz. Continuous Multivariate Distributions. Volume 1: Models and Applications. Nova York: Wiley, 2000. ISBN 978-0-471-18387-7. (Chapter 49: Dirichlet and Inverted Dirichlet Distributions)
↑Olkin, Ingram; Rubin, Herman The Annals of Mathematical Statistics, 35, 1, 1964, pàg. 261–269. DOI: 10.1214/aoms/1177703748. JSTOR: 2238036 [Consulta: free].
↑«[https://www.cs.cmu.edu/~epxing/Class/10701-08s/recitation/dirichlet.pdf Dirichlet Distribution, Dirichlet Process and Dirichlet Process Mixture]» (en anglès). https://www.cs.cmu.edu.+[Consulta: 22 novembre 2022].
↑«Dirichlet distribution — Probability Distribution Explorer documentation» (en anglès). https://distribution-explorer.github.io.+[Consulta: 22 novembre 2022].
↑Team, Stan Development. 23.1 Dirichlet Distribution | Stan Functions Reference (en anglès). https://mc-stan.org.