Distribució F no centralTipus | distribució de probabilitat contínua ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Mathworld | NoncentralF-Distribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
En Teoria de Probabilitat i Estadística, la distribució F no central és una distribució de probabilitat contínua que és una generalització de la distribució F (ordinària), que s'obté com la distribució del quocient entre una variable amb distribució khi quadrat no central i una variable amb distribució khi quadrat (ordinària), cadascuna dividida pels seus graus de llibertat, i ambdues independents.[1]
Aquesta distribució s'utilitza per trobar la funció de potència en diversos contrast d'hipòtesis, com en els de l'Anàlisi de la variància .[2] La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.[3]
Definició, funció de densitat i funció de distribució
Sigui
una variable aleatòria khi quadrat no central amb
graus de llibertat i paràmetre de no centralitat
i
una variable aleatòria khi quadrat amb
graus de llibertat,
i
independents. Aleshores es diu que la variable
segueix una distribució F no central amb
i
graus de llibertat i paràmetre de no centralitat
, i s'escriu
. La funció de densitat de probabilitat (pdf) de la distribució F no central és [4][5]
on
és la funció beta. Reordenant els termes es pot escriure
Observació. D'aquesta expressió es dedueix que la distribució
és una mixtura de distribucions de probabilitat; concretament, la component
,
, és la distribució d'una variable aleatòria de la forma
on
és el quocient de dues variables khi quadrat independents, el numerador amb
graus de llibertat i el denominador amb
; els pesos venen donats per una distribució de Poisson de paràmetre
. Cal notar que
no té una distribució F
.
La funció de distribució és
on
i
és la funció beta incompleta regularitzada, i
si
.
Càlcul de la funció de densitat
Primer calcularem la funció de densitat de la variable aleatòria
![{\displaystyle G={\frac {X}{Y}},\ {\text{amb}}\ X\sim \chi ^{2}(\nu _{1},\lambda ),\,Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2}),\,X\ {\text{i}}\ Y\ {\text{independents}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e6667d4d13586fb5dd14944d5cb34d6b015167)
D'aquí deduirem la funció de densitat de
![{\displaystyle F={\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f8c4738a2029dde56d6fb216f225b7cfc16137)
. Demostrarem que la distribució de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
és una mixtura de distribucions de quocients de variables khi quadrat independents amb pesos donats per una distribució de Poisson. Utilitzarem les següents notacions: Designem per
![{\displaystyle f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
la funció de densitat d'una distribució
![{\displaystyle \chi _{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f530af71e61da3d7e51e0e00f163572fb8ef289)
i per
![{\displaystyle f_{n,\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7df3c6ca1d7010e0c709050f304d86ec20bca7)
la densitat d'una distribució
![{\displaystyle \chi _{n}^{2}(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718fb0c0d80d3b1bbdf7518b43ed83a09fe25dfd)
. També denotarem per
![{\displaystyle p_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e0821b28c43e9bc2a6360b937de535057bc62)
els pesos corresponents a una distribució de Poisson de paràmetre
![{\displaystyle \lambda /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f189d538c95274dd5297140e5ee78df90faf13e)
:
![{\displaystyle p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5d02133eecc5e84a20a834fa732e1a6ae71f9b)
Recordem que la
distribució khi quadrat no central ![{\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcddf563c5a50811e59abb5497b1e6cf20f6536)
és una mixtura de distribucions
![{\displaystyle \chi _{\nu _{1}+2j}^{2},\ j=0,1,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69fd170228cf39395784f3e1cac47d97a2ca1bd1)
amb pesos
![{\displaystyle p_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e0821b28c43e9bc2a6360b937de535057bc62)
, i tenim
![{\displaystyle f_{\nu _{1},\lambda }(x)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,f_{\nu _{1}+2j}(x).\quad \quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0828a4f82fee56dd59b95fd64e58b8fc40a97c9a)
Donada la independència entre
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
i
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
, la funció de densitat conjunta de
![{\displaystyle (X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f29b9537685f499713112d6802e811cbf51bba)
és
![{\displaystyle f_{(X,Y)}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)=f_{\nu _{1},\lambda }(x)\,f_{\nu _{2}}(y).\quad \quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ab082797148d577cee51c15202baff5899d504)
Sigui
![{\displaystyle \varphi _{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38c1461b386d4ea963de85c2df9659b8ea9805f)
la funció característica de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
. Per (2) i (1),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{G}(t)&=E{\big [}e^{itG}{\big ]})=E{\big [}e^{itX/Y}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1},\lambda }(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy.\quad \quad (3)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be22e4c2ad8c2acdcd8dcf6ebcd6fd9e90a28b66)
Però
![{\displaystyle f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14352a128f0132fec71b8c58af2b2e4270b63fa0)
és la funció de densitat conjunta d'una variable aleatòria
![{\displaystyle Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0c4d898e4bc2d42b3cafa2d28f3bb8099c26a2)
i una variable
![{\displaystyle Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab55332c3e3ea4104905ce81cf780b8d7769595b)
independents. Per tant, els sumands de (3) són les funcions característiques de variables aleatòries de la forma
![{\displaystyle H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}=Y_{\nu _{1}+2j}/Y'_{\nu _{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c92e3260b6781ceb71226e4ba7fe0084d304935)
. Reconeixem, per tant, una mixtura de distribucions d'aquests tipus amb els pesos
![{\displaystyle p_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e0821b28c43e9bc2a6360b937de535057bc62)
. Per la fórmula del canvi de variables (vegeu la pàgina
distribució F per als càlculs) , la funció de densitat de la variable
![{\displaystyle H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec6e159bcee87cb74dde3f555d9f2587de6279f)
és
![{\displaystyle f_{H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}(x)={\frac {1}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\,{\frac {x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(1+x)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c138dd4759758bd53ff0f916055fb690dad5edba)
Finalment, s'utilitza que si
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
és una variable aleatòria amb funció de densitat
![{\displaystyle f_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53fcb87b0f4d69be22cc6a9d2fb227dd2da91d2)
i
![{\displaystyle a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
, aleshores la densitat de
![{\displaystyle N=aM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1539156497c056af7dbbffdaefe8caf5cb5d09fd)
és
![{\displaystyle f_{N}(x)={\frac {1}{|a|}}f{\Big (}{\frac {x}{a}}{\Big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fe3300ae41afcc5dfa62f8f8379811a254e6db)
Càlcul de la funció de distribució
Per a
![{\displaystyle x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2608e2b392b079f5b763f27bf52883dbee3b64a)
, a partir de la segona expressió de la funció de densitat tenim que
![{\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,{\frac {\nu _{1}^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\nu _{2}^{\frac {\nu }{2}}}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(\nu _{2}+\nu _{1}t)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1136a2f22812bedee5a142f2f129dc0d5bfdc28c)
Ara a cada integral es fa el canvi
![{\displaystyle t={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\,{\frac {y}{1-y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cf9c79b618e6c38d83d3413f83177fb11ca15b)
i s'obté una integral del tipus
funció beta incompleta.
Moments. Esperança i variància
Sigui
. Aleshores
té moment d'ordre
si i només si
. En aquest cas,[3]
En particular, si
, llavors
té esperança i val
Si
, llavors
té moment de 2n. ordre que val
La variància és
Prova
Amb les notacions que hem introduït al càlcul de la funció de densitat de
![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
, (recordem que
![{\displaystyle Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0c4d898e4bc2d42b3cafa2d28f3bb8099c26a2)
i
![{\displaystyle Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab55332c3e3ea4104905ce81cf780b8d7769595b)
, independents)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E{\big [}F^{k}{\big ]}&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}G^{k}{\big ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\bigg [}{\frac {Y_{\nu _{1}+2j}^{k}}{(Y'_{\nu _{2}})^{k}}}{\bigg ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}\,E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\\&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a3f2111c8375c7c769bd4376e29d60d29d9ce4)
Amb els mateixos càlculs que hi a la pàgina de la
distribució ![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
,
![{\displaystyle E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}<\infty \quad \Longleftrightarrow \quad k<{\frac {\nu _{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac95c006995d37af1bc84c655b5b7364adbd618)
i quan
![{\displaystyle k<\nu _{2}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bb928b76fa9146a4521cb608d5be52071b3ec1)
,
![{\displaystyle E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}-k{\big )}}{2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6b81eaed77a3ee2955f9b4d64656b957d73d35)
D'altra banda, el moment d'ordre
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
d'una distribució
![{\displaystyle \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07835f086c5296b7372f93b8cab1b94ec4939911)
és
![{\displaystyle E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}={\frac {2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j+k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j{\big )}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767ed9ee4ebfbf25c1f229fe3a194a9d5db669ab)
Referències
- ↑ «Lecture 13: Noncentral χ2-, t-, and F-distributions» (en anglès). https://pages.stat.wisc.edu.+[Consulta: 8 juliol 2023].
- ↑ «Noncentral F Distribution | Real Statistics Using Excel» (en anglès). https://real-statistics.com.+[Consulta: 8 juliol 2023].
- ↑ 3,0 3,1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chap. 30». A: Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 978-0-471-58494-0.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Noncentral F-Distribution» (en anglès). https://mathworld.wolfram.com.+[Consulta: 8 juliol 2023].
- ↑ S. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Detection Theory, (New Jersey: Prentice Hall, 1998), p. 29.
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|