En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e
pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.[1]
Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre
Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que i que és un nombre enter. Això és impossible, i aquesta contradicció estableix la irracionalitat de "e".
- Per a veure que x és un nombre enter, notem que
| |
- Ara, per a tot n tal que , hom veu que és divisible per a , ja que
és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que també, , és a dir, x és un nombre enter.
- Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que car
- Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.
Quod erat demonstrandum
Referències
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Demostració que e és irracional
- ↑ «Demostración "elemental" de que el número e es irracional» (en castellà), 17-09-2012. [Consulta: 23 juny 2019].