Constant de Fransén-Robinson

La constant de Fransén–Robinson, sovint anotada F, és una constant matemàtica que representa l'àrea entre la gràfica de la funció gamma inversa, 1/Γ(x), i l'eix x. És a dir,

F = ∫ 0 ∞ 1 Γ ( x ) d x . {\displaystyle F=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,\mathrm {d} x.}

La constant de Fransén–Robinson té el valor numèric de F = 2.8077702420285... (successió A058655 a l'OEIS), amb la representació en fracció contínua [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] (successió A046943 a l'OEIS). La seva proximitat amb el nombre d'Euler e = 2.71828... es deu al fet que la integral es pot aproximar a:

F ≈ ∑ n = 1 ∞ 1 Γ ( n ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! , {\displaystyle F\approx \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (n)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}},}

la sèrie estàndard del nombre e. La diferència entre els dos valors ve donada per:

F = e + ∫ 0 ∞ e − x π 2 + ( ln ⁡ x ) 2 d x {\displaystyle F=e+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{\pi ^{2}+(\ln x)^{2}}}\,\mathrm {d} x}

i també per:

F = e + 1 π ∫ − π / 2 π / 2 e π tan ⁡ θ e − e π tan ⁡ θ d θ . {\displaystyle F=e+{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}e^{\pi \tan \theta }e^{-e^{\pi \tan \theta }}\,\mathrm {d} \theta .}

La constant de Fransén–Robinson també es pot expressar usant la funció de Mittag-Leffler com el límit:

F = lim α → 0 α E α , 0 ( 1 ) . {\displaystyle F=\lim _{\alpha \to 0}\alpha E_{\alpha ,0}(1).}

No se sap, tanmateix si F es pot expressar de forma tancada en termes d'altres constants conegudes.

S'han fet grans esforços per calcular el valor numèric de la constant de Fransén-Robinson amb alta precisió. El valor va ser calculat amb xifres significatives per Herman P. Robinson usant fórmules de Newton-Cotes d'11 punts, amb 65 dígits per A. Fransén usant la fórmula d'Euler-Maclaurin, i amb 80 xifres per Fransén i S. Wrigge usant sèries de Taylor i altres mètodes. William A. Johnson va calcular-ne 300 dígits, i Pascal Sebah va poder-ne calcular fins a 600 usant la quadratura de Clenshaw-Curtis.

Referències

  • Fransen, Arne «Accurate Determination of the inverse Gamma Integral». BIT, 19, 1, 1979, pàg. 137–138. DOI: 10.1007/BF01931232.
  • Fransen, Arne; Wrigge, Staffan «High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients». Mathematics of Computation, 34, 150, 1980, pàg. 553–566. DOI: 10.2307/2006104.
  • Fransen, Arne «Addendum and Corrigendum to "High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients"». Mathematics of Computation, 37, 155, 1981, pàg. 233–235. DOI: 10.2307/2007517.
  • «Fransén–Robinson Constant». [Enllaç no actiu]
  • Weisstein, Eric W., «Fransén–Robinson Constant» a MathWorld (en anglès).
  • Borwein, Jonathan; David Bailey; Roland Girgensohn. Experimentation in Mathematics – Computational Paths to Discovery. A K Peters, 2003, p. 288. ISBN 1-56881-136-5.